Cực trị của hàm số
Lý thuyết cực trị của hàm số
Tóm tắt
1. Định nghĩa cực trị của hàm số
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) và điểm [latex]\displaystyle {{x}_{0}}[/latex] ∈ (a ; b)
– Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f([latex]\displaystyle {{x}_{0}}[/latex]), ∀x ∈ ([latex]\displaystyle {{x}_{0}}[/latex] – h ; [latex]\displaystyle {{x}_{0}}[/latex] + h), x # [latex]\displaystyle {{x}_{0}}[/latex] thì ta nói hàm số f đạt cực đại tại [latex]\displaystyle {{x}_{0}}[/latex] .
– Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f([latex]\displaystyle {{x}_{0}}[/latex]), ∀x ∈ ([latex]\displaystyle {{x}_{0}}[/latex] – h ; [latex]\displaystyle {{x}_{0}}[/latex] + h), x # [latex]\displaystyle {{x}_{0}}[/latex] thì ta nói hàm số f đạt cực tiểu tại [latex]\displaystyle {{x}_{0}}[/latex] .
2. Định lí 1
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x[latex]\displaystyle {{x}_{0}}[/latex] – h ; [latex]\displaystyle {{x}_{0}}[/latex] + h) (h > 0) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ { [latex]\displaystyle {{x}_{0}}[/latex] }.
– Nếu [latex]\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}f'(x)>0|\forall ({{x}_{0}}-h;{{x}_{0}})\\f'(x)<0|\forall ({{x}_{0}};{{x}_{0}}+h)\end{array} \right.[/latex] thì [latex]\displaystyle {{x}_{0}}[/latex] là điểm cực đại của hàm số
– Nếu [latex]\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}f'(x)<0|\forall ({{x}_{0}}-h;{{x}_{0}})\\f'(x)>0|\forall ({{x}_{0}};{{x}_{0}}+h)\end{array} \right.[/latex] thì [latex]\displaystyle {{x}_{0}}[/latex] là điểm cực tiểu của hàm số
3. Định lí 2
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng K = ([latex]\displaystyle {{x}_{0}}[/latex] – h ; [latex]\displaystyle {{x}_{0}}[/latex] + h) (h > 0).
– Nếu f'([latex]\displaystyle {{x}_{0}}[/latex]) = 0, f”([latex]\displaystyle {{x}_{0}}[/latex]) > 0 thì [latex]\displaystyle {{x}_{0}}[/latex] là điểm cực tiểu của hàm số
– Nếu f'([latex]\displaystyle {{x}_{0}}[/latex]) = 0, f”([latex]\displaystyle {{x}_{0}}[/latex]) < 0 thì [latex]\displaystyle {{x}_{0}}[/latex] là điểm cực đại của hàm số
4. Quy tắc tìm cực trị của hàm số
Quy tắc 1:
– Tìm tập xác định.
– Tính f'(x). Tìm các điểm tại đó f'(x) bằng f'(x) không xác định.
– Lập bảng biến thiên.
– Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Quy tắc 2:
– Tìm tập xác định.
– Tính f'(x). Tìm các nghiệm của phương trình f'(x)=0.
– Tính f”(x) và f”([latex]\displaystyle {{x}_{i}}[/latex]) suy ra tính chất cực trị của các điểm [latex]\displaystyle {{x}_{i}}[/latex]
*Chú ý: nếu f”([latex]\displaystyle {{x}_{i}}[/latex])=0 thì ta phải dùng quy tắc 1 để xét cực trị tại [latex]\displaystyle {{x}_{i}}[/latex]