Lý thuyết phương trình mũ và logarit

Ôn tập lý thuyết phương trình mũ và phương trình logarit

1. Các khái niệm về phương trình mũ và phương trình logarit

– Phương trình mũ cơ bản là phương trình có dạng [latex]\displaystyle a_{{}}^{x}=b[/latex], trong đó a,b là hai số đã cho, a dương và khác 1;

– Phương trình logarit cơ bản có dạng [latex]\displaystyle \log _{a}^{{}}x=b[/latex], trong đó a, b là hai số đã cho, a dương và khác 1;

– Nghiệm của phương trình mũ cơ bản và phương trình logarit cơ bản

+ Nếu b ≤ 0 thì [latex]\displaystyle a_{{}}^{x}=b[/latex] vô nghiệm; nếu b > 0 thì [latex]\displaystyle a_{{}}^{x}=b[/latex] ⇔ [latex]\displaystyle x=\log _{a}^{{}}b[/latex]

+ Với mọi b luôn có [latex]\displaystyle \log _{a}^{{}}x=b[/latex] ⇔ [latex]\displaystyle x=a_{{}}^{b}[/latex]

2. Phương pháp giải phương trình mũ và logarit

– Với phương trình mũ và phương trình logarit cơ bản ta đưa phương trình về cùng cơ số :

Cách làm: ta sử dụng các công thức sau:

∀b > 0, ∀a > 0 (a # 1), [latex]\displaystyle b=a_{{}}^{{\log _{a}^{{}}b}}[/latex] ( để đư về lũy thừa cơ số a)

và ∀a, c, x > 0 (a, c # 1), [latex]\displaystyle \log _{c}^{{}}x=\frac{{\log _{a}^{{}}x}}{{\log _{a}^{{}}c}}[/latex] ( để đưa về logarit cơ số a).

– Với phương trình mũ và logarit phức tạp thì các em sử dụng một trong hai phương pháp sau:
+ Phương pháp đặt ẩn phụ: Đặt một lũy thừa có chứa ẩn ở số mũ hoặc một logarit có chứa ẩn trong logarit làm ẩn số phụ một cách thích hợp rồi sử dụng các tính chất của lũy thừa, logarit để biến đổi phương trình về phương trình đối với ẩn số mới và đưa bài toán về việc giải phương trình mới nhận được.

+ Phương pháp mũ hóa, phương pháp logarit hóa: Nếu 2 vế của phương trình mũ và logarit đều phân tích được thành tích các nhân tử dương thì có thể logarit hóa hai vế phương trình theo cùng một cơ số (phép logarit hóa biến một tích thành một tổng, một thương thành một hiệu). Ta cũng có thể khử logarit bằng cách mũ hóa hai vế phương trình theo cùng cơ số trên cơ sở dùng tính chất [latex]\displaystyle a_{{}}^{{\log _{a}^{{}}b}}=b[/latex]