9 phương pháp giải phương trình vô tỷ hay dùng

Ở bài viết này các em sẽ học được 9 phương pháp giải phương trình vô tỷ. Tùy từng bài mà các em sử dụng cách giải nào cho phù hợp.

Trước tiên hãy cùng Toán cấp 3 đi xét một bài toán giải phương trình cơ bản với 4 cách.

Bài toán mở đầu:

Giải phương trình: \(1+\frac{2}{3}\sqrt{x-{{x}^{2}}}=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\text{ }\left( 1 \right)\)

Đ/k: \(0\le x\le 1\)

Cách 1:

\(\begin{array}{l}1+\frac{2}{3}\sqrt{x-{{x}^{2}}}=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\text{ }\Leftrightarrow {{\left( 1+\frac{2}{3}\sqrt{x-{{x}^{2}}} \right)}^{2}}={{\left( \sqrt{x}+\sqrt{1-x} \right)}^{2}}\\\Leftrightarrow 4\left( x-{{x}^{2}} \right)-6\sqrt{x-{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow \sqrt{x-{{x}^{2}}}\left( 4\sqrt{x-{{x}^{2}}}-6 \right)=0\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt{x-{{x}^{2}}}=0\\\sqrt{x-{{x}^{2}}}=\frac{3}{2}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0\\x=1\end{array} \right.\end{array}\)

Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình đã cho là .

Cách 2:

Đặt: \(t=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\)  ;  \(1\le t\le \sqrt{2}\) \(\Rightarrow \sqrt{x-{{x}^{2}}}=\frac{{{t}^{2}}-1}{2}\)

Phương trình trở thành:

\(1+\frac{{{t}^{2}}-1}{3}=t\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}t=1\\t=2\end{array} \right.\)

t = 2 không thỏa mãn

⇔ \(\sqrt{x}+\sqrt{1-x}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=1\\x=0\end{array} \right.\)

Cách 3: Đặt \(a=\sqrt{x};b=\sqrt{1-x};a\ge 0,b\ge 0\)

Ta có:

\(\displaystyle \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}1+\frac{2}{3}ab=a+b\\{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3+2ab=3\left( a+b \right)\\{{\left( a+b \right)}^{2}}-2ab=1\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a+b=1\\ab=0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a+b=2\\ab=\frac{3}{2}\end{array} \right.\left( \text{khong ton tai }a,b \right)\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a=0\\b=1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a=1\\b=0\end{array} \right.\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0\\x=1\end{array} \right.\end{array}\)

Cách 4:

Đặt \(\sqrt{x}=\sin \alpha ,0\le \alpha \le \frac{\pi }{2}\)

Phương trình trở thành:

\(1+\frac{2}{3}\sin \alpha \sqrt{1-{{\sin }^{2}}\alpha }=\sin \alpha +\sqrt{1-{{\sin }^{2}}\alpha }\Leftrightarrow {{\left( \sin \alpha +\cos \alpha \right)}^{2}}-3\left( \sin \alpha +\cos \alpha \right)+2=0\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin \alpha +\cos \alpha =1\\\sin \alpha +\cos \alpha =2\left( \text{khong ton tai }\alpha \right)\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\alpha =0\\\alpha =\frac{\pi }{2}\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0\\x=1\end{array} \right.\)

Qua ví dụ trên ta thấy có rất nhiều cách để giải PT vô tỷ. Sau đây Toancap3.com đi vào một số phương pháp cụ thể.

1. Phương pháp 1: Biến đổi tương đương

Bài toán: Giải phương trình sau

\(\displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}+5x+\sqrt{{{x}^{3}}+2x+1}}=x+1\)

Đk: \(\displaystyle {{x}^{3}}+2x+1\ge 0;\,\,\,{{x}^{2}}+5x+\sqrt{{{x}^{3}}+2x+1}\ge 0;\)

\(\sqrt{{{x}^{2}}+5x+\sqrt{{{x}^{3}}+2x+1}}=x+1\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x+1\ge 0\\{{x}^{2}}+5x+\sqrt{{{x}^{3}}+2x+1}={{\left( x+1 \right)}^{2}}\end{array} \right.\)

⇔ \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge -1\\\sqrt{{{x}^{3}}+2x+1}=1-3x\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x\ge -1\\\frac{1}{3}\ge x\\{{x}^{3}}+2x+1={{\left( 1-3x \right)}^{2}}\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}-1\le x\le \frac{1}{3}\\x=0;x=1;x=8\end{array} \right.\)

⇔ x = 0 (thỏa mãn điều kiện).

2. Phương pháp 2: Đặt ẩn số phụ

Bài toán: Giải phương trình: \(x\sqrt[3]{35-{{x}^{3}}}\left( x+\sqrt[3]{35-{{x}^{3}}} \right)=30\)

Đặt \(t=x+\sqrt[3]{35-{{x}^{3}}}\Rightarrow x\sqrt[3]{35-{{x}^{3}}}=\frac{{{t}^{3}}-35}{3t}\)

Phương trình đã cho trở thành:

\(\frac{{{t}^{3}}-35}{3t}.t=30\Leftrightarrow {{t}^{3}}=125\Leftrightarrow t=5\Leftrightarrow x\sqrt[3]{35-{{x}^{3}}}=6\Leftrightarrow {{x}^{3}}\left( 35-{{x}^{3}} \right)=216\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{x}^{3}}=8\\{{x}^{3}}=27\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=2\\x=3\end{array} \right.\)

3. Phương pháp 3: Phương pháp làm xuất hiện biểu thức liên hợp

Bài toán: Giải phương trình: \(\left( \sqrt{x-1}+\sqrt{x+2} \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1 \right)=3\)

Đk: x ≥ 1

\(\left( \sqrt{x-1}+\sqrt{x+2} \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1 \right)=3\)

⇔ \(\left[ \left( x+2 \right)-\left( x-1 \right) \right]\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1 \right)=3\left( -\sqrt{x-1}+\sqrt{x+2} \right)\)

⇔ \(\sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1=-\sqrt{x-1}+\sqrt{x+2}\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1\ge 0\\{{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1 \right)}^{2}}={{\left( -\sqrt{x-1}+\sqrt{x+2} \right)}^{2}}\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}+x-2\ge 1\\{{x}^{2}}-x-2=0\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}+x-2\ge 1\\\left[ \begin{array}{l}x=2\\x=-1\end{array} \right.\end{array} \right.\)

⇔ x = 2 (thỏa mãn đk)

4. Phương pháp 4: Đưa về phương trình tích

Bài toán: Giải phương trình: \(\sqrt{x+3}+2x\sqrt{x+1}=2x+\sqrt{{{x}^{2}}+4x+3}\)

Đk: x ≥ -1

⇔ \(\sqrt{x+3}+2x\sqrt{x+1}=2x+\sqrt{{{x}^{2}}+4x+3}\)

⇔ \(\sqrt{x+3}-\sqrt{\left( x+1 \right)\left( x+3 \right)}-\left( 2x-2x\sqrt{x+1} \right)=0\)

⇔ \(\sqrt{x+3}\left( 1-\sqrt{x+1} \right)-2x\left( 1-\sqrt{x+1} \right)=0\)

⇔ \(\left( 1-\sqrt{x+1} \right)\left( \sqrt{x+3}-2x \right)=0\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}1-\sqrt{x+1}=0\\\sqrt{x+3}-2x=0\end{array} \right.\)

⇔\(\left[ \begin{array}{l}x=0\\x=1\end{array} \right.(\text{TM})\)

5. Phương pháp 5: Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình

Bài toán: Giải phương trình: \(\sqrt{2x+8}-\sqrt[3]{2x-9}=5\)

Đk: x ≥ -4

Đặt \(a=\sqrt{2x+8}\ge 0;b=\sqrt[3]{2x-9}\ge \sqrt[3]{-17}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a-b=5\\{{a}^{2}}-{{b}^{3}}=17\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a=b+5\\{{a}^{2}}-{{b}^{3}}=17\end{array} \right.\)

⇒ \({{\left( b+5 \right)}^{2}}-{{b}^{3}}=17\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}b=-1\\b=-2\\b=4\end{array} \right.\)

Với:

\(b=-1\Rightarrow \sqrt[3]{2x-9}=-1\Leftrightarrow x=4\);

\(b=-2\Rightarrow \sqrt[3]{2x-9}=-2\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\);

\(b=4\Rightarrow \sqrt[3]{2x-9}=4\Leftrightarrow x=\frac{73}{2}\);

Vậy nghiệm của PT đã cho là: \(x=4,\,\,x=\frac{1}{2},\,\,x=\frac{73}{2}.\)

6. Phương pháp 6: Phương pháp đánh giá

Bài toán: Giải phương trình: \(\sqrt{1-2012x}+\sqrt{1+2012x}=\sqrt{x+1}+\frac{1}{\sqrt{x+1}}\)

Đk: \(-\frac{1}{2012}\le x\le \frac{1}{2012}\)

Ta có: \(\sqrt{x+1}+\frac{1}{\sqrt{x+1}}\ge 2\) . Dấu = xảy ra khi x = 0.

Ta có:

\({{\left( \sqrt{1-2012x}+\sqrt{1+2012x} \right)}^{2}}\le 2\left( 1-2012x+1+2012x \right)=4\)

⇒ \(\sqrt{1-2012x}+\sqrt{1+2012x}\le 2\)

Dấu = xảy ra khi x = 0. Vậy x = 0 là nghiệm của PT đã cho.

7. Phương pháp 7: Phương pháp hàm số

Bài toán: Giải phương trình: \(\sqrt{x-1}=-{{x}^{2}}+2x+17\)

Đk: x ≥ 1

Dễ thấy:

Hàm số \(f\left( x \right)=\sqrt{x-1}\) đồng biến trên \(\left( 1;+\infty \right)\).

Hàm số \(g\left( x \right)=-{{x}^{2}}+2x+17\) nghịch biến trên \(\left( 1;+\infty \right)\).

Suy ra PT đã cho nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

Ta có: \(f\left( 5 \right)=g\left( 5 \right)\).

Vậy x = 5 là nghiệm duy nhất.

8. Phương pháp 8: Phương pháp lượng giác hóa

Bài toán: Giải phương trình: \(\displaystyle 1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}=2{{x}^{2}}\)

Đk: -1 ≤ x ≤ 1

Đặt \(x=\cos \alpha ,0\le \alpha \le \pi \)

Phương trình trở thành:

\(1+\sqrt{1-c\text{o}{{\text{s}}^{2}}\alpha }=2{{\cos }^{2}}\alpha \)

⇔ \(1+\sin \alpha =2{{\cos }^{2}}\alpha \)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\sin \alpha =-1\left( \text{loai} \right)\\\sin \alpha =\frac{1}{2}\end{array} \right.\)

⇔ \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\alpha =\frac{\pi }{6}\\\alpha =\frac{5\pi }{6}\end{array} \right.\)

⇒ \(x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\)

9. Phương pháp 9: Phương pháp vectơ

Bài toán:Giải phương trình: \(\left| \sqrt{{{x}^{2}}-4x+5}-\sqrt{{{x}^{2}}-10x+50} \right|=5\)

Chọn \(\overrightarrow{a}=\left( x-2;1 \right);\overrightarrow{b}=\left( x-5;5 \right)\)

\(\left| \overrightarrow{a} \right|=\sqrt{{{\left( x-2 \right)}^{2}}+1}=\sqrt{{{x}^{2}}-4x+5}\);

\(\left| \overrightarrow{b} \right|=\sqrt{{{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{5}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}-10x+50}\)

Suy ra:

\(\left| \left| \overrightarrow{a} \right|-\left| \overrightarrow{b} \right| \right|=\left| \sqrt{{{x}^{2}}-4x+5}-\sqrt{{{x}^{2}}-10x+50} \right|\);

\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\left( 3;-4 \right)\Rightarrow \left| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right|=5\)

Ta có: \(\left| \left| \overrightarrow{a} \right|-\left| \overrightarrow{b} \right| \right|\le \left| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right|\), dấu bằng xảy ra khi \(\overrightarrow{a}=\left( x-2;1 \right);\overrightarrow{b}=\left( x-5;5 \right)\) cùng hướng \(\Leftrightarrow \overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}\left( k>0 \right)\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x-2=k\left( x-5 \right)\\1=5k\\k>0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k=\frac{1}{5}\\x=\frac{5}{4}\end{array} \right.\)

Vậy \(x=\frac{5}{4}\).