20/06/2017

Kỹ năng biến đổi hệ phương trình về dạng tích

By cuadmin Chuyên đề, Phương trình và hệ phương trình 0 Comments

Kỹ năng biến đổi hệ phương trình về dạng tích là một kỹ năng mà các em học sinh phải nắm vững để đưa các hệ phương trình phức tạp về dạng đơn giản.

I. MỞ ĐẦU
Phương trình và hệ phương trình là một trong những nội dung quan trọng của chương trình Đại số ở trường phổ thông. Trong các đề thi Đại học – Cao Đẳng, các kì thi học sinh giỏi thường xuyên xuất hiện bài toán giải hệ phương trình. Để giải được các bài toán về hệ phương trình thường tổng hợp nhiều kĩ năng biến đổi, phối hợp nhiều kĩ năng khác nhau để đưa các hệ phương trình đã cho về dạng đơn giản quen thuộc. Vấn đề đặt ra là làm thế nào để đưa hệ phương trình đã cho về dạng đơn giản hơn ?
II- NỘI DUNG
Loại 1: Một phương trình trong hệ có thể đưa về dạng tích của các phương trình bậc nhất hai ẩn
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:

$\begin{cases} xy+x+y=x^2-2y^2\\ x\sqrt{2y}-y\sqrt{x-1}=2x-2y\end{cases}$

Hướng dẫn giải:
+ Ta thấy: $xy+x+y=x^2-2y^2\Leftrightarrow x^2-xy-2y^2-(x+y)=0\Leftrightarrow (x+y)(x-2y-1)=0$ .
+ Từ đó, ta có: $x=y$ hoặc $x-2y-1=0$ .
+ Hệ có nghiệm $(5;2)$ .

Nhận xét:
+ Bằng phương pháp nhóm, ta đưa phương trình đầu về dạng tích.
+ Trong nhiều trường hợp, nhóm đặt nhân tử chung để đưa về PT tích gặp khó khăn, chúng ta có thể thử với $\Delta_x$ hoặc $\Delta_y$ . Nếu $\Delta_x$ (hoặc $\Delta_y$ ) là bình phương của một biểu thức thì ta đưa về phương trình tích dạng đơn giản.
Trong bài toán trên, từ PT đầu ta có: $x^2-x(y+1)-2y^2-y=0$
Vậy: $\Delta_x=(y+1)^2+4(2y^2+y)=9y^2+6y+1=(3y+1)^2$ .
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:

$\begin{cases} y^2=(5x+4)(4-x)\\ y^2-5x^2-4xy+16x-8y+16=0\end{cases}$

Hướng dẫn giải:
+ Rõ ràng, PT đầu đã có sự phân tích về dạng tích, nhưng chưa phân tích về dạng bậc nhất.
+ Từ PT (2), ta có: $y^2-(4x+8)y-5x^2+16x+16=0$
Và $\Delta'_y=9x^2$ .
+ Đáp số: $(0;4),(4;0),\left(-\dfrac{4}{5};0\right)$ .
Loại 2: Hai phương trình trong hệ có thể đưa về dạng tích của các phương trình bậc nhất hai ẩn
Nhận xét: Đây thực chất là phép cộng đại số. Trong nhiều trường hợp, chúng ta phải đi tìm hằng số $k$ thích hợp. Nếu $k=\pm 1$ thì bài toán đơn giản và khi $k\ne \pm1$ chúng ta có phương pháp đặc biệt đi tìm $k$ .
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l} x^3y-x^2+xy+1=0 \\ x^4-x^3y+x^2y^2=1 \end{array} \right.$

Hướng dẫn giải:
Lấy PT(2) trừ đi PT(1) ta được: $(x^2-xy)^2+x^2-xy-2=0 \Leftrightarrow x^2-xy=1 \text{ hoặc } \ x^2-xy=-2$
Nhận xét: Hằng số $k$ ở đây chính là $-1$ .
Ví dụ 4 Giải hệ phương trình :

$\left\{\begin{matrix}2x^2y+3xy=4x^2+9y & \\ 7y+6=x(2x+9)& \end{matrix}\right.$

Hướng dẫn giải:
Cộng vế theo vế, ta thu được phương trình: $(2y-6)x^2+3x(y-3)+6-2y=0$ .
Ta có: $\Delta_x=(5y-15)^2$ .
Nhận xét: Hằng số $k=1$ .
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình :

$\left\{ \begin{array}{l} x^2+2y+x-4xy= 0 \\ \frac{1}{x^2}+\dfrac{1}{xy}+\dfrac{x}{y}=3 \\ \end{array} \right.$

Hướng dẫn giải:
Hệ đã cho viết lại như sau: $\begin{cases}x^2-4xy+x+2y=0\\ x^3-3x^2y+x+y=0\end{cases}$
Lấy phương trình thứ hai trừ vế theo vế với phương trình đầu, chúng ta thu được: $x^3-x^2+(3xy-3x^2y)+xy-y=0$ .
Nhận xét:
a) Hằng số $k=-1$ .
b) Hệ này chúng ta có thể giải bằng PP sau:
Phân tích hướng đi thứ nhất:
Từ phương trình thứ nhất, ta thấy $y$ là bậc nhất. Điều này gợi ý cho chúng ta dùng phương pháp thế. Ta có: $x^2+x+2y(1-2x)= 0\Rightarrow y=\dfrac{x^2+x}{4x-2}$ .
Từ phương trình thứ hai ta có: $x^3-3x^2y+x+y=0\Rightarrow x^3+x+y(1-3x^2)=0$ .

Từ đó, ta có: $x^3+x+\dfrac{(x^2+x)(1-3x^2)}{4x-2}=0$ .

Khi đó, chúng ta thu được: $x^3-5x^2+5x-1=0$ .
Phân tích hướng đi thứ hai:
Từ phương trình thứ hai của hệ, ta thấy: $\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}\dfrac{x}{y}+\dfrac{x}{y}=3$ . Do đó, chúng ta cố gắng viết phương trình đầu của hệ theo $\dfrac{1}{x}$ , $\dfrac{x}{y}$ và $\dfrac{1}{y}$ .

Chia hai vế của phương trình đầu cho $xy$ , ta được: $\dfrac{x}{y}+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}-4=0$ .
Thế $\dfrac{x}{y}=4-\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{y}$ vào phương trình $\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}\dfrac{x}{y}+\dfrac{x}{y}=3$ ta được:

$\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x}\left(\dfrac{1}{y}-2\right)+1-\dfrac{1}{y}=0$ .
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình:

$\begin{cases} x^2y + xy^2 +x - 5y = 0\\ 2xy + y^2 - 5y + 1 = 0 \end{cases}$

Hướng dẫn giải:
Ta có : $x^2y + xy^2 +x - 5y +a(2xy+y^2-5y+1)=0$ .
Xem pt này là pt bậc 2 theo x, ta có : $x^2y+x(y^2+1+2ay)+ay^2-5ay+a-5y=0 (1)$ .
Khi đó: $\Delta = (y^2+1+2ay)^2-4y(ay^2-5ay+a-5y)$ .
Cho $\Delta=0$ và lúc này coi pt theo ẩn y ta có :

$\displaystyle {{y}^{4}}+{{y}^{2}}(4{{a}^{2}}+20a+22)+1=0$
Để PT đầu ta có thể phân tích được nhân tử thì $\Delta_{y}$ phải bằng 0.
Từ đó ta có $(4a^2+20a+22)^2-4=0$ . Suy ra: $a=-2$ .
Nhận xét: Bài toán này với $k=-2$ .
Ví dụ 7: Giải hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{matrix} x^3+5xy^2+42=0 \\ 2x^2-5xy-5y^2+x+10y-35=0 \end{matrix}\right.$

Hướng dẫn giải:
Ta có: $\left\{\begin{matrix} x^3+5xy^2+42=0(1) \\ 2x^2-5xy-5y^2+x+10y-35=0(2) \end{matrix}\right.$
Lấy $(1) + 2.(2)$ được:
$x^3+5xy^2+42+4x^2-10xy-10y^2+2x+20y-70=0$ .
$\Leftrightarrow 5y^2(x-2)-10y(x-2)+(x-2)(x^2+6x+14)=0$ .
$\Leftrightarrow (x-2)(5y^2-10y+x^2+6x+14)=0$ .
$\Leftrightarrow (x-2)[(x+3)^2+5(y-1)^2]=0$
$\Leftrightarrow \begin{cases} x=2\\ (x+3)^2+5(y-1)^2=0 \end{cases}$
– Với $x=2$ thay vào hệ được: $y^2=-5$ (không thỏa mãn) nên hệ vô nghiệm.
– Với $(x+3)^2+5(y-1)^2=0 \Leftrightarrow \begin{cases} x=-3\\ y=1 \end{cases}$ .
Thay vào hệ thấy thỏa mãn. Kết luận: Hệ đã cho có nghiệm $(x;y)=(-3;1)$ .
Nhận xét: Bài toán này hằng số $k=2$ .
Ví dụ 8: Giải hệ phương trình:

$\begin{cases} & xy-x+y=3 \\& 4x^3+12x^2+9x=-y^3+6y+5 \end{cases}$

Hướng dẫn giải:
Lấy PT(1)-3(y+1).PT(2), ta được: $y^3-3(x+1)y^2+4(x+1)^3=0$ .
Nhận xét: Bài toán này do sự chênh lệch bậc của hai phương trình trong hệ nên $k=-3(y+1)$ .
Tổng kết: Để giải hệ phương trình bằng PP cộng đại số mà cần đi tìm hằng số $k$ thì chúng ta làm các bước sau:

+ Kiểm tra mỗi phương trình có thể phân tích được thành tích hay không :
– Nếu phương trình dạng hữu tỉ có bậc nhất độc lập với một ẩn (hoặc với một bộ phận) ta nghĩ tới phương pháp thế.
– Nếu phương trình dạng hữu tỉ có bậc hai với một ẩn, chúng ta có thể kiểm tra $\Delta$ .
– Nếu phương trình không có dạng $\Delta$ hoặc bậc cao thì chúng ta nghĩ tới việc đưa về tích, dùng hằng đẳng thức, nhóm để đưa về tích. Đối với Ph có hai vế xuất hiện bậc ba thường đưa về dạng $a^3=b^3$ .
– Nếu thấy xuất hiện căn thức có thể dùng lượng liên hợp để phát hiện nhân tử chung.
+ Nếu không khai thác được ở mỗi phương trình, khi đó chúng ta có thể kết hợp cả hai phương trình bằng phương pháp cộng đại số.
– Nếu là hai phương trình hữu tỉ ta đi tìm $\Delta$ .
– Nếu xuất hiện căn thức đi tìm bộ phận chung để đặt ẩn phụ. Và để xuất hiện bộ phận chung, chúng ta thường thực hiện phép chia hai vế của phương trình cho một biể thức hoặc biến đổi đưa về các hằng đẳng thức. Hơn nữa trong phương trình xuất hiện bình phương thiếu ta có thể nghĩ ngay đến phương pháp tổng và hiệu.
Ví dụ: (Đề HSG -Hà Tĩnh 2007-2008)

$\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy=7} \\ {{{x}^{2}}-{{y}^{2}}=3} \end{array}} \right.$

Bài toán này chúng ta có thể giải bằng hai cách:
Cách 1: Viết $x^2+y^2+xy=\dfrac{1}{4}(x-y)^2+\dfrac{3}{4}(x+y)^2=7$ và $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ .
Cách 2: Có thể dùng phương pháp cộng đại số đi tìm hằng số $k$ .
Bài tập tương tự
1. Giải hệ phương trình :
$\left\{ \begin{aligned} & {{\left( \frac{1-{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}} \right)}^{3}}+xy+\frac{3}{2}={{y}^{3}} \\ & {{(xy+2)}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}=2y+\frac{4}{x} \\ \end{aligned} \right.$
2. Giải hệ phương trình sau:

$\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt{{2x+1}}+\sqrt{{2y+1}}=\frac{{{{{(x-y)}}^{2}}}}{2}} \\ {(x+y)(x+2y)+3x+2y=4} \end{array}} \right.$
3. Giải hệ phương trình :

$\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2{{x}^{2}}+x{{y}^{2}}+x+6y-10=0} \\ {{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}=4} \end{array}} \right.$
4. Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+4xy=6 & & \\ 2x^2+8=3y+7x & & \end{matrix}\right.$
5. Giải hệ phương trình:

$\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4} \\ {(xy-2)(x+y)+xy-{{y}^{2}}=0} \end{array}} \right.$
6. Giải hệ phương trình :

$\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{x}^{2}}-(2y+2)x-3{{y}^{2}}=0} \\ {{{x}^{2}}+2x{{y}^{2}}-(y+3)x-2{{y}^{3}}-6{{y}^{2}}+1=0} \end{array}} \right.$

7. Giải hệ phương trình :
$\begin{cases}x^3+8=7(x+y) \\ 6y^2+2(x+y)^2=7 \end{cases}$
8. Giải hệ phương trình :
$\begin{cases}x^2-xy+y^2=(x+y) \\ x^4+x^2y^2+y^4=x-y \end{cases}$

(Nguồn bài viết: nguyenanhtuan2011.wordpress.com)

Tags:hệ phương trình