Bài tập tích vô hướng của hai vectơ – Hình học 10
Bài tập tích vô hướng của hai vectơ thuộc chương 1 hình học 10. Trước khi đi vào giải bài tập các em cần phải ôn lại lý thuyết.
Các em cần đọc qua lý thuyết sau đó ứng dụng vào làm bài tập.
Lý thuyết về tích vô hướng của hai vectơ:
Bài tập tích vô hướng của hai vectơ
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Tính các tích vô hướng:
a) $latex \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$
b) $latex \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}$
c) $latex \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}$
Bài 2: Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng:
a) $latex \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$
b) $latex \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}$
c) $latex \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}$
Bài 3: Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì.
a) Chứng minh: $latex \overrightarrow{DA}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DB}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DC}.\overrightarrow{AB}=0$
b) Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: “Ba đường cao trong tam giác đồng quy”.
Bài 4: Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh:
$latex \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CF}=0$
Bài 5: Cho hai điểm M, N nắm trên đường tròn đường kính AB = 2R. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AM và BN.
a) Chứng minh: $latex \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AI},\,\,\overrightarrow{BN}.\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BI}$
b) Tính $latex \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BN}.\overrightarrow{BI}$ theo R.
Bài 6: Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, AC = 8.
a) Tính $latex \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ , rồi suy ra giá trị của góc A.
b) Tính $latex \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}$
c) Gọi D là điểm trên CA sao cho CD = 3. Tính $latex \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{CB}$
Bài 7: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) $latex \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$
b) $latex (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC})$
c) $latex (\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})(2\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})$
d) $latex \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BD}$
e) $latex (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC})$
HD: a) a2 b) a2 c) 2a2 d) -a2 e) 0
Bài 8: Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4, CA = 3.
a) Tính $latex \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ , rồi suy ra cosA.
b) Gọi G là trọng tâm của D. Tính $latex \overrightarrow{AG}.\overrightarrow{BC}$ .
c) Tính giá trị biểu thức S = $latex \overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GB}.\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GC}.\overrightarrow{GA}$.
d) Gọi AD là phân giác trong của góc $latex \widehat{BAC}$ (D ∈ BC). Tính $latex \overrightarrow{AD}$ theo $latex \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ , suy ra AD.
HD:
a) $latex \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-\frac{3}{2}$ , $latex \cos A=-\frac{1}{4}$
b) $latex \overrightarrow{AG}.\overrightarrow{BC}=\frac{5}{3}$
c) $latex S=-\frac{29}{6}$
d) Sử dụng tính chất đường phân giác $latex \overrightarrow{DB}=\frac{AB}{AC}.\overrightarrow{DC}$ ⇒ $latex \overrightarrow{AD}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$ , $latex AD=\frac{\sqrt{54}}{5}$
Bài 9: Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, A = 600. M là trung điểm của BC.
a) Tính BC, AM.
b) Tính IJ, trong đó I, J được xác định bởi: $latex 2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0},\,\,\overrightarrow{JB}=2\overrightarrow{JC}$
HD:
a) BC = $latex \sqrt{19}$ , AM = $latex \frac{\sqrt{7}}{2}$
b) IJ = $latex \frac{2}{3}\sqrt{133}$
Bài 10: Cho tứ giác ABCD.
a) Chứng minh: $latex A{{B}^{2}}-B{{C}^{2}}+C{{D}^{2}}-D{{A}^{2}}=2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}$
b) Suy ra điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc là: $latex A{{B}^{2}}+C{{D}^{2}}=B{{C}^{2}}+D{{A}^{2}}$
Bài 11: Cho tam giác ABC có trực tâm H, M là trung điểm của BC. Chứng minh:
$latex \overrightarrow{MH}.\overrightarrow{MA}=\frac{1}{4}B{{C}^{2}}$
Bài 12: Cho hình chữ nhật ABCD, M là một điểm bất kì. Chứng minh:
a) $latex M{{A}^{2}}+M{{C}^{2}}=M{{B}^{2}}+M{{D}^{2}}$
b) $latex \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MD}$
c) $latex M{{A}^{2}}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MO}$ (O là tâm của hình chữ nhật).
Bài 13: Cho tam giác ABC có A(1; –1), B(5; –3), C(2; 0).
a) Tính chu vi và nhận dạng tam giác ABC.
b) Tìm toạ độ điểm M biết $latex \overrightarrow{CM}=2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}$ .
c) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 14: Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8).
a) Tính $latex \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ . Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.
b) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
c) Tìm toạ độ trực tâm H và trọng tâm G của tam giác ABC.
d) Tính chu vi, diện tích tam giác ABC.
e) Tìm toạ độ điểm M trên Oy để B, M, A thẳng hàng.
f) Tìm toạ độ điểm N trên Ox để tam giác ANC cân tại N.
g) Tìm toạ độ điểm D để ABDC là hình chữ nhật.
h) Tìm toạ độ điểm K trên Ox để AOKB là hình thang đáy AO.
i) Tìm toạ độ điểm T thoả $latex \overrightarrow{TA}+2\overrightarrow{TB}-3\overrightarrow{TC}=\vec{0}$
k) Tìm toạ độ điểm E đối xứng với A qua B.
l) Tìm toạ độ điểm I chân đường phân giác trong tại đỉnh C của ΔABC.
Bài 15: Cho tam giác ABC. tìm tập hợp những điểm M sao cho:
a) $latex M{{A}^{2}}=2\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}$
b) $latex (\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB})(2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC})=0$
c) $latex (\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB})(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})=0$
d) $latex 2M{{A}^{2}}+\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}$
Bài 16: Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tìm tập hợp những điểm M sao cho:
a) $latex \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MD}={{a}^{2}}$
b) $latex \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD}=5{{a}^{2}}$
c) $latex M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}=3M{{D}^{2}}$
d) $latex (\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB})=3{{a}^{2}}$
Bài 17: Cho tứ giác ABCD, I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm tập hợp điểm M sao cho:
$latex \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD}=\frac{1}{2}I{{J}^{2}}$