Chuyên đề hệ phương trình đối xứng loại 1

Ở bài viết này Toancap3.com sẽ cùng các em đi tìm hiểu về chuyên đề hệ phương trình đối xứng loại 1, phương pháp giải, tìm điều kiện để hệ có nghiệm.

Sau khi học xong bài này, các em hãy luyện giải các bài tập được cho bên dưới.

1. Hệ đối xứng loại (kiểu) I có dạng tổng quát

$latex \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}f(x,y)=0\\g(x,y)=0\end{array} \right.$ trong đó

$latex \left\{ \begin{array}{l}f(x,y)=f(y,x)\\g(x,y)=g(y,x)\end{array} \right.$

2. Phương pháp giải chung cho hệ PT đối xứng loại 1

i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).

ii) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và $latex {{\text{S}}^{2}}\ge 4\text{P}$.

iii) Bước 3: Giải hệ tìm S, P rồi dùng Vi–et đảo tìm x, y.

Chú ý:

i) Cần nhớ: x² + y² = S² – 2P, x³ + y³ = S³ – 3SP.

ii) Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv.

iii) Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại I sau khi đặt ẩn phụ.

3. Các ví dụ giải hệ phương trình đối xứng loại 1

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình $latex \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}=30\\{{x}^{3}}+{{y}^{3}}=35\end{array} \right.$

Đặt $latex \text{S}=x+y,\text{ P}=xy$, điều kiện $latex {{\text{S}}^{2}}\ge 4\text{P}$. Hệ phương trình trở thành:

$latex \left\{ \begin{array}{l}SP=30\\S({{S}^{2}}-3P)=35\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P=\frac{30}{S}\\S\left( {{S}^{2}}-\frac{90}{S} \right)=35\end{array} \right.$

$latex \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S=5\\P=6\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x+y=5\\xy=6\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=2\\y=3\end{array} \right.\vee \left\{ \begin{array}{l}x=3\\y=2\end{array} \right.$

.Ví dụ 2: Giải hệ phương trình $latex \left\{ \begin{array}{l}xy(x-y)=-2\\{{x}^{3}}-{{y}^{3}}=2\end{array} \right.$

Đặt $latex t=-y,\text{ }S=x+t,\text{ }P=xt$, điều kiện $latex {{S}^{2}}\ge 4P$. Hệ phương trình trở thành:

$latex \left\{ \begin{array}{l}xt(x+t)=2\\{{x}^{3}}+{{t}^{3}}=2\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}SP=2\\{{S}^{3}}-3SP=2\end{array} \right.$

$latex \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S=2\\P=1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=1\\t=1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=1\\y=-1\end{array} \right.$

4. Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) I có nghiệm

Phương pháp giải chung:

i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).

ii) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và $latex {{\text{S}}^{2}}\ge 4\text{P}$(*).

iii) Bước 3: Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ điều kiện (*) tìm m.

Chú ý:

Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác điều kiện u, v.

Ví dụ 1 (trích đề thi ĐH khối D – 2004). Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:

$latex \left\{ \begin{array}{l}\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\\x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=1-3m\end{array} \right.$

GIẢI

Điều kiện $latex x,y\ge 0$ ta có:

$latex \left\{ \begin{array}{l}\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\\x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=1-3m\end{array} \right.$ ⇔ $latex \left\{ \begin{array}{l}\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\\{{(\sqrt{x})}^{3}}+{{(\sqrt{y})}^{3}}=1-3m\end{array} \right.$

Đặt $latex S=\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge 0,P=\sqrt{xy}\ge 0$, $latex {{S}^{2}}\ge 4P$. Hệ phương trình trở thành:

$latex \left\{ \begin{array}{l}S=1\\{{S}^{2}}-3SP=1-3m\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S=1\\P=m\end{array} \right.$

Từ điều kiện $latex S\ge 0,P\ge 0,{{S}^{2}}\ge 4P$ ta có $latex 0\le m\le \frac{1}{4}$.

Ví dụ 2: Tìm điều kiện m để hệ phương trình $latex \left\{ \begin{array}{l}x+y+xy=m\\{{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}=3m-9\end{array} \right.$ có nghiệm thực.

GIẢI

$latex \left\{ \begin{array}{l}x+y+xy=m\\{{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}=3m-9\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}(x+y)+xy=m\\xy(x+y)=3m-9\end{array} \right.$

Đặt S = x + y, P = xy, $latex {{S}^{2}}\ge 4P$. Hệ phương trình trở thành: $latex \left\{ \begin{array}{l}S+P=m\\SP=3m-9\end{array} \right.$.

Suy ra S và P là nghiệm của phương trình $latex {{t}^{2}}-mt+3m-9=0$

$latex \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}S=3\\P=m-3\end{array} \right.\vee \left\{ \begin{array}{l}S=m-3\\P=3\end{array} \right.$

Từ điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm $latex \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{3}^{2}}\ge 4(m-3)\\{{(m-3)}^{2}}\ge 12\end{array} \right.\Leftrightarrow m\le \frac{21}{4}\vee m\ge 3+2\sqrt{3}$.

Ví dụ 3: Tìm điều kiện m để hệ phương trình $latex \left\{ \begin{array}{l}\sqrt{x-4}+\sqrt{y-1}=4\\x+y=3m\end{array} \right.$ có nghiệm.

GIẢI

Đặt $latex u=\sqrt{x-4}\ge 0,v=\sqrt{y-1}\ge 0$ hệ trở thành:

$latex \left\{ \begin{array}{l}u+v=4\\{{u}^{2}}+{{v}^{2}}=3m-5\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u+v=4\\uv=\frac{21-3m}{2}\end{array} \right.$

Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của $latex {{t}^{2}}-4t+\frac{21-3m}{2}=0$ (*).

Hệ có nghiệm ⇔ (*) có 2 nghiệm không âm

$latex \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{\Delta }^{‘}}\ge 0\\S\ge 0\\P\ge 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{3m-13}{2}\ge 0\\\frac{21-3m}{2}\ge 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \frac{13}{3}\le m\le 7$

5. Bài tập vận dụng

a) Giải các hệ phương trình sau

1. $latex \left\{ \begin{array}{l}\text{ }x+y+xy=5\\{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy=7\end{array} \right.$

2. $latex \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}=3\\2x+xy+2y=-3\end{array} \right.$

3. $latex \left\{ \begin{array}{l}x+y+2xy=2\\{{x}^{3}}+{{y}^{3}}=8\end{array} \right.$

4. $latex \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{3}}-{{y}^{3}}=7\\xy(x-y)=2\end{array} \right.$

5. $latex \left\{ \begin{array}{l}\text{ }x-y+2xy=5\\{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy=7\end{array} \right.$

6. $latex \left\{ \begin{array}{l}(x+y)(1+\frac{1}{xy})=5\\({{x}^{2}}+{{y}^{2}})(1+\frac{1}{{{x}^{2}}{{y}^{2}}})=49\end{array} \right.$

b) Tìm điều kiện của m để các hệ phương trình thỏa yêu cầu

1. Tìm m để hệ phương trình $latex \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}=m+6\\2x+xy+2y=m\end{array} \right.$ có nghiệm thực duy nhất.

2. Tìm m để hệ phương trình: $latex \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x+xy+y=m+1\\{{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}=m\end{array} \right.$ có nghiệm thực x > 0, y > 0.

3. Tìm m để hệ phương trình $latex \left\{ \begin{array}{l}\sqrt{x}+\sqrt{y}=m\\x+y-\sqrt{xy}=m\end{array} \right.$ có nghiệm thực.

4. Tìm m để hệ phương trình $latex \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2(1+m)\\{{(x+y)}^{2}}=4\end{array} \right.$ có đúng 2 nghiệm thực phân biệt.

5. Cho x, y là nghiệm của hệ phương trình $latex \left\{ \begin{array}{l}x+y=2m-1\\{{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{m}^{2}}+2m-3\end{array} \right.$. Tìm m để P = xy nhỏ nhất.