Chứng minh BĐT Nestbit 3 biến bằng phương pháp tăng giảm biến

Toán cấp 3 sưu tầm cách chứng minh bất đẳng thức Nestbit 3 biến bằng phương pháp tăng giảm biến. Nguồn bài viết từ website phudinhgioihan.wordpress.com.

Cách chứng minh BĐT Nestbit:

Cho 3 số thực dương a; b; c  khi đó :

\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \ge \frac{3}{2}

Đặt P(a;b;c)=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}

Do P đối xứng theo a;b;c nên ta giả sử c là số nằm giữa a và b ,=> (a-c)(b-c) \le 0

Với  t\in \mathbb{R} , xét:

P(a+t;b-t;c)-P(a;b;c)

=(a+b+c)(a+b+2c)\frac{t(t+a-b)}{(a+c)(b+c)(a+c+t)(b+c-t)}

Chọn t=b-c suy ra:

P(a+t;b-t;c)-P(a;b;c)

=(a+b+c)(a+b+2c)\frac{(a-c)(b-c)}{(a+c)(b+c)(a+b)2c} \le 0

=> P(a;b;c) \ge P(a+b-c;c;c)=P(a^\prime;c;c) \; ; a^\prime=a+b-c >0

\ge \frac{a^\prime}{2c}+\frac{2c}{a^\prime+c}

\ge \frac{1}{2}(\frac{a^\prime}{c}+1)+\frac{2}{\frac{a^\prime}{c}+1}-\frac{1}{2}

\ge \frac{3}{2}

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c