Chuyên đề hệ phương trình đối xứng loại 2

Tiếp theo bài hệ phương trình đối xứng loại 1 ở bài trước, ở bài viết này Toancap3.com cùng các em đi học Chuyên đề hệ phương trình đối xứng loại 2.

Với chuyên đề này thì chúng ta sẽ đi lần lượt từ dạng tổng quát, phương pháp giải.

Hệ phương trình đối xứng loại 2 có 2 dạng.

1. Dạng 1: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}f(x,y)=0\\f(y,x)=0\end{array} \right.\) (đổi vị trí x và y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia)

Phương pháp giải chung:

1.1. Cách giải 1:

Trừ hai phương trình cho nhau, đưa về phương trình tích, giải x theo y (hay ngược lại) rồi thế vào một trong hai phương trình của hệ.

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{{x}^{3}}+2x=y\text{ }(1)\\{{y}^{3}}+2y=x\text{ }(2)\end{array} \right.\)

Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được:

\({{x}^{3}}-{{y}^{3}}+3x-3y=0\Leftrightarrow (x-y)({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy+3)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-y)\left[ {{\left( x+\frac{y}{2} \right)}^{2}}+\frac{3{{y}^{2}}}{4}+3 \right]=0\Leftrightarrow y=x\)

Thế y = x vào (1) hoặc (2) ta được: \({{x}^{3}}+x=0\Leftrightarrow x=0\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left\{ \begin{array}{l}x=0\\y=0\end{array} \right.\).

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt{2x+3}+\sqrt{4-y}=4\text{ }(1)\\\sqrt{2y+3}+\sqrt{4-x}=4\text{ }(2)\end{array} \right.\)

Giải

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}-\frac{3}{2}\le x\le 4\\-\frac{3}{2}\le y\le 4\end{array} \right.\)

Lấy (1) trừ (2) theo vế ta được:

\(\left( \sqrt{2x+3}-\sqrt{2y+3} \right)+\left( \sqrt{4-y}-\sqrt{4-x} \right)=0\) (*)

Nhận thấy \(x=y=-\frac{3}{2}\) hoặc \(x=y=4\) không là nghiệm của phương trình (*)

Khi đó \(\left( * \right)\Leftrightarrow \frac{(2x+3)-(2y+3)}{\sqrt{2x+3}+\sqrt{2y+3}}+\frac{(4-y)-(4-x)}{\sqrt{4-y}+\sqrt{4-x}}=0\)

\(\Leftrightarrow (x-y)\left( \frac{2}{\sqrt{2x+3}+\sqrt{2y+3}}+\frac{1}{\sqrt{4-y}+\sqrt{4-x}} \right)=0\Leftrightarrow x=y\)

Thay x = y vào (1), ta được:

\(\sqrt{2x+3}+\sqrt{4-x}=4\Leftrightarrow x+7+2\sqrt{(2x+3)(4-x)}=16\)

\(\Leftrightarrow 2\sqrt{-2{{x}^{2}}+5x+12}=9-x\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9-x\ge 0\\9{{x}^{2}}-38x+33=0\end{array} \right.\Leftrightarrow x=3\vee x=\frac{11}{9}\) (nhận).

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left\{ \begin{array}{l}x=3\\y=3\end{array} \right.\vee \left\{ \begin{array}{l}x=\frac{11}{9}\\y=\frac{11}{9}\end{array} \right.\)

1.2. Cách giải 2 (nên dùng khi cách 1 không giải được)

Cộng và trừ lần lượt hai phương trình đưa về hệ phương trình mới tương đương gồm hai phương trình tích (thông thường tương đương với 4 hệ phương trình mới).

 Ví dụ 3. Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{{x}^{3}}=2x+y\text{ }(1)\\{{y}^{3}}=2y+x\text{ }(2)\end{array} \right.\)

Giải

Trừ và cộng (1) với (2), ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}{{x}^{3}}=2x+y\\{{y}^{3}}=2y+x\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}(x-y)({{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}-1)=0\\(x+y)({{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}-3)=0\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x-y=0\\x+y=0\end{array} \right.\vee \left\{ \begin{array}{l}x-y=0\\{{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}=3\end{array} \right.\vee \left\{ \begin{array}{l}x+y=0\\{{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}=1\end{array} \right.\vee \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}=1\\{{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}=3\end{array} \right.\)

+ \(\left\{ \begin{array}{l}x-y=0\\x+y=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=0\\x=0\end{array} \right.\)

+ \(\left\{ \begin{array}{l}x-y=0\\{{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}=3\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y=x\\{{x}^{2}}=3\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=\sqrt{3}\\y=\sqrt{3}\end{array} \right.\vee \left\{ \begin{array}{l}x=-\sqrt{3}\\y=-\sqrt{3}\end{array} \right.\)

+ \(\left\{ \begin{array}{l}x+y=0\\{{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}=1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y=-x\\{{x}^{2}}=1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=-1\\y=1\end{array} \right.\vee \left\{ \begin{array}{l}x=1\\y=-1\end{array} \right.\)

+ \(\left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}=1\\{{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}=3\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy=-1\\{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy=-1\\x+y=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=1\\y=-1\end{array} \right.\vee \left\{ \begin{array}{l}x=-1\\y=1\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có 5 nghiệm phân biệt:

\(\left\{ \begin{array}{l}x=0\\x=0\end{array} \right.\vee \left\{ \begin{array}{l}x=-1\\y=1\end{array} \right.\vee \left\{ \begin{array}{l}x=1\\y=-1\end{array} \right.\vee \left\{ \begin{array}{l}x=\sqrt{3}\\y=\sqrt{3}\end{array} \right.\vee \left\{ \begin{array}{l}x=-\sqrt{3}\\y=-\sqrt{3}\end{array} \right.\)

1.3. Cách 3. Sử dụng hàm số đơn điệu để suy ra x = y

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt{2x+3}+\sqrt{4-y}=4\text{ }(1)\\\sqrt{2y+3}+\sqrt{4-x}=4\text{ }(2)\end{array} \right.\)

Giải

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}-\frac{3}{2}\le x\le 4\\-\frac{3}{2}\le x\le 4\end{array} \right.\).

Trừ (1) và (2) ta được:

\(\sqrt{2x+3}-\sqrt{4-x}=\sqrt{2y+3}-\sqrt{4-y}\)      (3)

Xét hàm số \(f(t)=\sqrt{2t+3}-\sqrt{4-t},\text{ }t\in \left[ -\frac{3}{2};\text{ }4 \right]\), ta có:

\({{f}^{/}}(x)=\frac{1}{\sqrt{2t+3}}+\frac{1}{2\sqrt{4-t}}>0,\text{ }\forall t\in \left( -\frac{3}{2};\text{ }4 \right)\) \(\Rightarrow (3)\Leftrightarrow f(x)=f(y)\Leftrightarrow x=y\)

Thay x = y vào (1), ta được:

\(\sqrt{2x+3}+\sqrt{4-x}=4\Leftrightarrow x+7+2\sqrt{(2x+3)(4-x)}=16\)

\(\Leftrightarrow 2\sqrt{-2{{x}^{2}}+5x+12}=9-x\Leftrightarrow x=3\vee x=\frac{11}{9}\) (nhận).

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left\{ \begin{array}{l}x=3\\y=3\end{array} \right.\vee \left\{ \begin{array}{l}x=\frac{11}{9}\\y=\frac{11}{9}\end{array} \right.\).

Ví dụ 5. Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{{x}^{3}}+2x=y\\{{y}^{3}}+2y=x\end{array} \right.\).

Giải

Xét hàm số \(f(t)={{t}^{3}}+2t\Rightarrow {{f}^{/}}(t)=3{{t}^{2}}+2>0,\text{ }\forall t\in \mathbb{R}\).

Hệ phương trình trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}f(x)=y\text{ }(1)\\f(y)=x\text{ }(2)\end{array} \right.\).

+ Nếu \(x>y\Rightarrow f(x)>f(y)\Rightarrow y>x\)(do (1) và (2) dẫn đến mâu thuẩn).

+ Nếu \(x<y\Rightarrow f(x)<f(y)\Rightarrow y<x\)(mâu thuẩn).

Suy ra x = y, thế vào hệ ta được \({{x}^{3}}+x=0\Leftrightarrow x=0.\)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất \(\left\{ \begin{array}{l}x=0\\y=0\end{array} \right.\).

Chú ý:

Khi gặp hệ phương trình đối xứng loại II dạng 1, ta nên giải cách 1. Nếu giải không được mới nghĩ đến cách 2 và 3, nếu vẫn không giải được thì quay trở về đề bài và tìm điều kiện chính xác rồi giải lại cách 1.

2. Dạng 2: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}f(x,y)=0\\g(x,y)=0\end{array} \right.\), trong đó chỉ có 1 phương trình đối xứng

Phương pháp giải chung

2.1. Cách giải 1:

Đưa phương trình đối xứng về dạng tích, giải y theo x rồi thế vào phương trình còn lại.

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x-\frac{1}{x}=y-\frac{1}{y}\text{ }(1)\\2{{x}^{2}}-xy-1=0\text{ }(2)\end{array} \right.\).

Giải

Điều kiện: \(x\ne 0,\text{ }y\ne 0\). Ta có:

\((1)\Leftrightarrow (x-y)\left( 1+\frac{1}{xy} \right)=0\Leftrightarrow y=x\vee y=-\frac{1}{x}.\)

+ Với y = x: \((2)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-1=0\Leftrightarrow x=\pm 1\).

+ Với \(y=-\frac{1}{x}\): (2) vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left\{ \begin{array}{l}x=1\\y=1\end{array} \right.\vee \left\{ \begin{array}{l}x=-1\\y=-1\end{array} \right.\).

2.2. Cách giải 2 (nên dùng khi cách 1 không giải được)

Đưa phương trình đối xứng về dạng \(f(x)=f(y)\Leftrightarrow x=y\) với hàm f đơn điệu.

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x-y=\cos x-\cos y\text{ }(1)\\{{x}^{2}}y-3y-18=0\text{ }(2)\end{array} \right.\).

Giải

Tách biến phương trình (1), ta được:

\((1)\Leftrightarrow x-\cos x=y-\cos y\) (3).

Xét hàm số \(f(t)=t-\cos t\Rightarrow {{f}^{/}}(t)=1+\sin t>0,\text{ }\forall t\in \mathbb{R}\).

Suy ra \((3)\Leftrightarrow f(x)=f(y)\Leftrightarrow x=y\).

Thay x = y vào (2), ta được: \({{x}^{3}}-3x-18=0\Leftrightarrow (x-3)({{x}^{2}}+3x+6)=0\Leftrightarrow x=3.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left\{ \begin{array}{l}x=3\\y=3\end{array} \right.\).

Chú ý:

Cách giải sau đây sai: \(\left\{ \begin{array}{l}x-\frac{1}{x}=y-\frac{1}{y}\text{ }(1)\\2{{x}^{2}}-xy-1=0\text{ }(2)\end{array} \right.\).

Giải

Điều kiện: \(x\ne 0,\text{ }y\ne 0\).

Xét hàm số \(f(t)=t-\frac{1}{t},\text{ }t\in \mathbb{R}\backslash \{0\}\Rightarrow {{f}^{/}}(t)=1+\frac{1}{{{t}^{2}}}>0,\text{ }\forall t\in \mathbb{R}\backslash \{0\}\).

Suy ra \((1)\Leftrightarrow f(x)=f(y)\Leftrightarrow x=y\) !

Sai do hàm số f(t) đơn điệu trên 2 khoảng rời nhau (cụ thể f(–1) = f(1) = 0).

3.Bài tập vận dụng

Giải các hệ phương trình sau

1) \(\left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-3y+2=0\\{{y}^{2}}-3x+2=0\end{array} \right.\)

2) \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}+xy=x+2y\\{{y}^{2}}+xy=y+2x\end{array} \right.\)

3) \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt{x+1}+\sqrt{y-7}=4\\\sqrt{y+1}+\sqrt{x-7}=4\end{array} \right.\)

4) \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt{x+1}+\sqrt{y-2}=3\\\sqrt{y+1}+\sqrt{x-2}=3\end{array} \right.\)

5) \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt{x+3}+\sqrt{2-y}=3\\\sqrt{y+3}+\sqrt{2-x}=3\end{array} \right.\)

6) \(\left\{ \begin{array}{l}{{x}^{3}}=x+2y\\{{y}^{3}}=y+2x\end{array} \right.\)

7) \(\left\{ \begin{array}{l}2x+y=\frac{3}{{{x}^{2}}}\\2y+x=\frac{3}{{{y}^{2}}}\end{array} \right.\)

8) \(\left\{ \begin{array}{l}2{{x}^{2}}=y+\frac{1}{y}\\2{{y}^{2}}=x+\frac{1}{x}\end{array} \right.\)

9) \(\left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}y-4={{y}^{2}}\\x{{y}^{2}}-4={{x}^{2}}\end{array} \right.\)

10) \(\left\{ \begin{array}{l}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+x+1=2y\\{{y}^{3}}-{{y}^{2}}+y+1=2x\end{array} \right.\)