Điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước

Toancap3.com sưu tầm 2 phương pháp tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước qua các ví dụ có lời giải và bài tập minh họa.

Phương pháp đó là:

- Phương pháp 1: Rút m theo x, rồi dựa vào bài toán cụ thể để tìm m.
- Phương pháp 2: Lập bảng biến thiên để tìm các khoảng đơn điệu cụ thể, từ đó rút ra kết luận.

Ví dụ 1: (Đề thi Toán khối A năm 2013) Tìm m để hàm số y=-x^3+3x^2+3mx-1 nghịch biến trên \left( {0;+\infty} \right).

Lời giải. Ta có y'=-3x^2+6x+3m.

Hàm số nghịch biến trên \left( {0;+\infty} \right) khi và chỉ khi y'\le 0,\forall x\in \left( {0;+\infty} \right)
\Leftrightarrow -3x^2+6x+3m\le 0 ,\forall x\in \left( {0;+\infty} \right) \Leftrightarrow m\le x^2-2x, \forall x\in \left( {0;+\infty} \right)\ (1).

Xét hàm số f(x)=x^2-2x trên \left( {0;+\infty} \right)f'(x)=2x-2; f'(x)=0\Leftrightarrow x=1.

Bảng biến thiên: \begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & 0 & \; & 1 & \; & +\infty \\ \hline f'(x) & \; & - & 0 & + & \; \\ \hline & \;0 & \; & \; & \; & +\infty \\ f(x) & \; & \searrow & \; & \nearrow & \; \\ & \; & \; & -1 & \;&\\ \hline \end{array}.

Từ bảng biên thiên ta có (1)\Leftrightarrow m\le -1.

Vậy với m\le -1, hàm số đã cho nghịch biến trên \left( {0;+\infty} \right).

Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y=- \dfrac{1}{3}{x^3} + \left( {m - 1} \right){x^2} + \left( {m + 3} \right)x + 4 đồng biến trên \left( {0;3} \right).

Lời giải. Ta có: y' = - {x^2} + \left( {m - 1} \right)x + m + 3.

Hàm số đồng biến trên \left( {0;3} \right) khi và chỉ khi y' \ge 0,\forall x \in \left( {0;3} \right)
\Leftrightarrow - {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + m + 3 \ge 0,\forall x \in \left( {0;3} \right)
\Leftrightarrow m \ge \dfrac{{{x^2} + 2x - 3}}{{2x + 1}},\forall x \in \left( {0;3} \right)\ (2).

Xét hàm số \displaystyle f(x) = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{2x + 1}} trên \left[ {0;3} \right]\displaystyle f'(x) = \frac{{2{x^2} + 2x + 8}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \left[ {0;3} \right].

Bảng biến thiên: \begin{array}{|c|ccc|} \hline x & 0 & \; & 3 \\ \hline f'(x) & \; & + & \\ \hline & \; & \; & \dfrac{12}{7} \\ f(x) & \; & \nearrow & \; \\ & -3 & \; & \\ \hline \end{array}.

Từ bảng biến thiên suy ra \displaystyle (2) \Leftrightarrow m \ge \frac{{12}}{7}.

Vậy với \displaystyle m \ge \frac{{12}}{7}, hàm số đã cho luôn đồng biến trên \left( {0;3} \right).

Ví dụ 3: Tìm m để hàm số y = {x^3} - \left( {2m + 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} + 2m} \right)x + 1 đồng biến trên \left( {0; + \infty } \right).

Lời giải. Ta có: y' = 3{x^2} - 2\left( {2m + 1} \right)x + {m^2} + 2m;
\Delta '_{y'} = {\left( {2m + 1} \right)^2} - 3\left( {{m^2} + 2m} \right) = {\left( {m - 1} \right)^2}.

Với m = 1, ta có y' \ge 0,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow hàm số luôn đồng biến trên \mathbb{R}
Do đó hàm số đồng biến trên \left( {0; + \infty } \right) nên m=1 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Với m \ne 1, ta có \displaystyle y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_1} = \dfrac{{2m + 1 - \left| {m - 1} \right|}}{3}\\ {x_2} = \dfrac{{2m + 1 + \left| {m - 1} \right|}}{3} \end{array} \right.

Bảng biến thiên: \begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & \; & x_1 & \; & x_2 & \; & +\infty \\ \hline y' & \; & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline & \; & \; & y(x_1) & & & \; & +\infty \\ y & \; & \nearrow & \; & \searrow & \; & \nearrow & \\ & -\infty & & & \;& y(x_2) & \; & \\ \hline \end{array}.

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên \left( {0; + \infty } \right)
\Leftrightarrow \dfrac{{2m + 1 + \left| {m - 1} \right|}}{3} \le 0 \Leftrightarrow \left| {m - 1} \right| \le - 2m - 1.

Với m > 1, ta có \left| {m - 1} \right| \le - 2m - 1 \Leftrightarrow m - 1 \le - 2m - 1 \Leftrightarrow m \le 0 (loại).

Với m < 1, ta có \left| {m - 1} \right| \le - 2m - 1 \Leftrightarrow - m + 1 \le - 2m - 1 \Leftrightarrow m \le - 2 (thỏa mãn).

Vậy với m \le - 2 hoặc m = 1, hàm số đã cho đồng biến trên \left( {0; + \infty } \right).

Ví dụ 4: Tìm m để hàm số y = \dfrac{{{x^2} - 2mx + 2{m^2} - 2}}{{x - m}} đồng biến trên \left( {1; + \infty } \right).

Lời giải. Tập xác định: D = \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}.

Ta có: \displaystyle y' = \dfrac{{{x^2} - 2mx + 2}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}.

Hàm số đồng biến trên \left( {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y' \ge 0,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\\ m \notin \left( {1; + \infty } \right) \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{{{x^2} - 2mx + 2}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}} \ge 0,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\\ m \le 1 \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 2mx + 2 \ge 0,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right) \\ m \le 1 \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle m \le \frac{{{x^2} + 2}}{{2x}},\forall x \in \left( {1; + \infty } \right) \\ m \le 1 \end{array} \right.\ (4).

Xét hàm số \displaystyle f(x) = \frac{{{x^2} + 2}}{{2x}} trên \left[ {1; + \infty } \right)f'(x) = \dfrac{{2{x^2} - 4}}{{4{x^2}}};f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt 2 .

Bảng biến thiên: \begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & 1 & \; & \sqrt 2 & \; & +\infty \\ \hline f'(x) & \; & - & 0 & + & \; \\ \hline & \;\dfrac{3}{2} & \; & \; & \; & +\infty \\ f(x) & \; & \searrow & \; & \nearrow & \; \\ & \; & \; & \sqrt 2 & \;&\\ \hline \end{array}.

Từ bảng biến thiên ta có (4) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \le \sqrt 2 \\ m \le 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 1 .

Vậy với m \le 1, hàm số đã cho đồng biến trên \left( {1; + \infty } \right).

Ví dụ 5: Tìm a để hàm số y = {x^3} + 3{x^2} + ax + a nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.

Lời giải. Ta có: y' = 3{x^2} + 6x + a; \Delta'_{y'} = 9 - 3a .

Với 9 - 3a \le 0 \Leftrightarrow a \ge 3 \Rightarrow y' \ge 0,\forall \in \mathbb{R}
\Rightarrow hàm số luôn đồng biến trên \mathbb{R}, mâu thuẫn giả thiết.

Do đó a \ge 3 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Với 9 - 3a > 0 \Leftrightarrow a < 3 \Rightarrow y' có hai nghiệm {x_1},{x_2}\left( {{x_1} < {x_2}} \right) .

Bảng biến thiên: \begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & \; & x_1 & \; & x_2 & \; & +\infty \\ \hline y' & \; & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline & \; & \; & y(x_1) & & & \; & +\infty \\ y & \; & \nearrow & \; & \searrow & \; & \nearrow & \\ & -\infty & & & \;& y(x_2) & \; & \\ \hline \end{array}.

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 khi và chỉ khi \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 1\Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 1 \Leftrightarrow 4 - \dfrac{{4a}}{3} = 1 \Leftrightarrow a = \dfrac{9}{4} (thỏa mãn).

Vậy với \displaystyle a = \frac{9}{4}, hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.

* Nhận xét: Đối với các bài toán có m bậc nhất và có khoảng đơn điệu cụ thể nên dùng phương pháp 1 còn các bài toán có bậc m lớn hơn 1 và khoảng đơn điệu không cụ thể phải dùng phương pháp 2.

Bài tập tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước

1. Tìm m để hàm số y = {x^3} + 3{x^2} - mx - 4 đồng biến trên \left( { - \infty ;0} \right).

2. Tìm m để hàm số y = \dfrac{1}{3}m{x^3} - \left( {m - 1} \right){x^2} + 3\left( {m - 2} \right)x + \dfrac{1}{3} đồng biến trên \left[ {2; + \infty } \right).

3. Tìm m để hàm số y = {x^4} - 8m{x^2} + 9m đồng biến trên \left( {2; + \infty } \right).

4. Tìm m để hàm số \displaystyle y = \frac{{mx + 4}}{{x + m}} nghịch biến trên \left( { - \infty ;1} \right).

5. Tìm m để hàm số \displaystyle y = \frac{{m{x^2} + 6x - 2}}{{x + 2}} nghịch biến trên \left[ {1; + \infty } \right).

6. Tìm a để hàm số \displaystyle y = \frac{{{x^2} - 2ax + 4{a^2}}}{{x - 2a}} đồng biến trên \left( {2; + \infty } \right).

7. Tìm m để hàm số y = {x^3} + 3{x^2} + \left( {m + 1} \right)x + 4m đồng biến trên mỗi khoảng \left( { - \infty ; - 2} \right)\left( {2; + \infty } \right).

8. Tìm a để hàm số y = {x^3} - 3\left( {a - 1} \right){x^2} + 3(a - 2)x + 1 đồng biến trên mỗi khoảng có hoành độ thỏa 1 \le \left| x \right| \le 2.

9. Tìm m để hàm số y = \dfrac{1}{3}\left( {m + 1} \right){x^3} + \left( {2m - 1} \right){x^2} - \left( {3m + 2} \right)x + m nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 4.

10. Tìm m để hàm số y = - \dfrac{1}{3}{x^3} + {x^2} + \left( {3m + 2} \right)x + m - 3 đồng biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn 4.