Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hằng số

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hằng số là một phương pháp được sử dụng khá nhiều trong chương trình Toán cấp 3.

Chúng ta cùng đi xét ví dụ giải hệ phương trình dưới đây. Chú ý với mỗi ví dụ cần đọc kĩ nhận xét, sau đó là lời giải chi tiết.

Bài toán mở đầu: Giải hệ phương trình: \begin{cases} {x^2} - xy=2\\ {x^2} + 2xy - {y^2}=7 \end{cases}

Nhận xét: Đây là hệ đẳng cấp bậc hai có rất nhiều cách giải. Một trong những cách giải là đồng nhất hệ số tự do rồi trừ theo vế các phương trình trong hệ.

Lời giải.
Hệ đã cho tương đương với \begin{cases} 7{x^2} - 7xy=14 & (1)\\ 2{x^2} +4xy - 2{y^2}=14 & (2) \end{cases}

Trừ theo vế (1) và (2) ta có: 5x^2-11xy+2y^2=0 \ (*).

Nhận thấy y=0 không thỏa mãn hệ.

Với y\ne 0, chia hai vế (*) cho y^2 ta có: 5{\left( {\dfrac{x}{y}} \right)^2} - 11\dfrac{x}{y} + 2=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{x}{y}=2\\ \frac{x}{y}=\frac{1}{5} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=2y\\ y=5x \end{array} \right.

Với x=2y thay vào (1) được 14y^2=14\Leftrightarrow y=\pm 1\Rightarrow x=\pm 2

Với y=5x thay vào (1) được -28x^2=14 (vô nghiệm).

Vậy hệ có hai nghiệm (x;y)=(2;1)(x;y)=(-2;-1)

Nhận xét: Thực chất của cách giải trên là rút số 14 ở phương trình (1) rồi thế vào phương trình (2). Việc rút một hằng số từ phương trình này thế vào phương trình kia gọi là phép thế hằng số. Đối với một số hệ phương trình việc giải bằng phép thế hằng số là tương đối đơn giản.

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: \begin{cases} y^3+y^2x+3x-6y=0\\ x^2+xy=3 \end{cases}.

Lời giải.
Hệ đã cho tương đương với \begin{cases} y^3+y^2x+3(x-2y)=0 \quad & (3)\\ x^2+xy=3 \quad &(4) \end{cases}

Thay (4) vào (3) ta có: {y^3} + {y^2}x + ({x^2} + xy)(x - 2y)=0 \Leftrightarrow {x^3} - {x^2}y - x{y^2} + {y^3}=0\ (*)

Nhận thấy y=0 không thỏa mãn hệ.

Với y\ne 0, chia hai vế (*) cho y^3 ta có: {\left( {\dfrac{x}{y}} \right)^3} -{\left( {\dfrac{x}{y}} \right)^2} - \dfrac{x}{y} +1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{x}{y} = 1\\ \frac{x}{y} = -1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y = x\\ y =-x \end{array} \right.

Với y=x thay vào (4) được \displaystyle 2x^2=3\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{\frac{3}{2}}\Rightarrow x=\pm \sqrt{\frac{3}{2}}

Với y=-x thay vào (4) được 0=3 (vô nghiệm).

Vậy hệ có hai nghiệm (x;y)=\left( \sqrt{\frac{3}{2}}; \sqrt{\frac{3}{2}}\right)(x;y)=\left(- \sqrt{\frac{3}{2}};- \sqrt{\frac{3}{2}}\right)

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: \begin{cases} x^3-8x=y^3+2y\\ x^2-3=3(y^2+1) \end{cases}

Lời giải.
Hệ đã cho tương đương với \begin{cases} x^3-y^3=2(4x+y)\\ x^2-3y^2=6 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3x^3-3y^3=6(4x+y) & (5)\\ x^2-3y^2=6 &(6) \end{cases}.

Thay (6) vào (5) ta có: 3{x^3} - 3{y^3} = \left( {{x^2} - 3{y^2}} \right)\left( {4x + y} \right) \Leftrightarrow {x^3} + {x^2}y - 12x{y^2} = 0\ (*)

Nhận thấy x=0 không thỏa mãn hệ.

Với x\ne 0, chia hai vế (*) cho x^3 ta có:
1 + \dfrac{y}{x} - 12{\left( {\dfrac{y}{x}} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{y}{x} = \frac{1}{3}\\ \frac{y}{x} = - \frac{1}{4} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 3y\\ x = - 4y \end{array} \right.

Với x=3y thay vào (6) được \displaystyle 6{y^2} = 6 \Leftrightarrow y = \pm 1 \Rightarrow x = \pm 3.

Với x=-4y thay vào (6) được \displaystyle 13{y^2} = 6 \Leftrightarrow y = \pm \sqrt {\frac{6}{{13}}} \Rightarrow x = \mp \sqrt {\frac{{96}}{{13}}}

Vậy hệ có bốn nghiệm:
(x;y)=(3;1), (x;y)=(-3;-1), (x;y)=\left( \sqrt{\frac{96}{13}}; -\sqrt{\frac{6}{13}}\right)(x;y)=\left(- \sqrt{\frac{96}{13}};\sqrt{\frac{6}{13}}\right)

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: \begin{cases} x + 2y = 1\\ 2x\sqrt x + 3\sqrt x + y\sqrt {y + 1} - 5\sqrt {y + 1} = 0 \end{cases}

Lời giải.
Điều kiện: x\ge 0,y\ge -1.

Hệ đã cho tương đương với \begin{cases} x + 2(y + 1) = 3\\ 2x\sqrt x + 3\sqrt x + \left( {y + 1} \right)\sqrt {y + 1} - 6\sqrt {y + 1} = 0 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} x + 2(y + 1) = 3 \quad & (7)\\ 2x\sqrt x + \left( {y + 1} \right)\sqrt {y + 1} + 3\left( {\sqrt x + 2\sqrt {y + 1} } \right) = 0 \quad &(8) \end{cases}

Thay (7) vào (8) ta có:
2x\sqrt x + \left( {y + 1} \right)\sqrt {y + 1} + \left( {x + 2(y + 1)} \right)\left( {\sqrt x + 2\sqrt {y + 1} } \right) = 0
\Leftrightarrow 3x\sqrt x - 2x\sqrt {y + 1} + 2\left( {y + 1} \right)\sqrt x - 3\left( {y + 1} \right)\sqrt {y + 1} = 0\ (*)

Nhận thấy y=-1 không thỏa mãn hệ.

Với y>-1, chia hai vế (*) cho (y+1)\sqrt{y+1} ta có:
3{\left( {\sqrt {\frac{x}{{y + 1}}} } \right)^3} - 2{\left( {\sqrt {\frac{x}{{y + 1}}} } \right)^2} + 2\sqrt {\frac{x}{{y + 1}}} - 3 = 0{\rm{}} \Leftrightarrow \sqrt {\frac{x}{{y + 1}}} = 1 \Leftrightarrow x = y + 1

Với x=y+1 thay vào (7) được \displaystyle 3\left( {y + 1} \right) = 3 \Leftrightarrow y = 0 \Rightarrow x = 1 (thỏa mãn)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y)=(1;0)

Nhận xét. Bạn đọc tự rút ra cho mình vì sao các hệ phương trình trên giải tốt bằng phương pháp thế hằng số.

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1. Giải hệ phương trình: \left\{ \begin{array}{l} {x^3} + {y^3} = 1\\ {x^2}y + 2x{y^2} + {y^3} = 2 \end{array} \right.

2. Giải hệ phương trình: \left\{ \begin{array}{l} x^3+2xy^2+12y=0\\ x^2+8y^2=12 \end{array} \right.

3. Giải hệ phương trình: \left\{ \begin{array}{l} x^2+y^2=4\\ x^3+y^3=x+3y \end{array} \right.

4. Giải hệ phương trình: \left\{ \begin{array}{l} x^3+y^3-xy^2=1\\ 4x^4+y^4=4x+y \end{array} \right.

5. Giải hệ phương trình: \left\{ \begin{array}{l} 2x-y=\frac{1}{x}\\ 2x+y=x^3+2y^3 \end{array} \right.

6. Giải hệ phương trình: \left\{ \begin{array}{l} {x^5} + {y^5} = 1\\ {x^9} + {y^9} = x^4+y^4 \end{array} \right.

7. Giải hệ phương trình: \left\{ \begin{array}{l} 2x^2y^2-x^2=1\\ x^3y^3+2x^3y-x^2=2 \end{array} \right.

8. (A-2011) Giải hệ phương trình: \left\{ \begin{array}{l} 5x^2y-4xy^2+3y^3-2(x+y)=0\\ xy(x^2+y^2)+2=(x+y)^2 \end{array} \right.