Lý thuyết mặt cầu – Hình học lớp 12
Lý thuyết mặt cầu thuộc chương 2 Hình học lớp 12.
1. Định nghĩa mặt cầu
Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng không đổi r (r>0) được gọi là một mặt cầu tâm O bán kính r.
S(O;r) = {M|OM=r}
* Đoạn thẳng nối hai điểm nằm trên mặt cầu gọi là dây cung của mặt cầu.
* Dây cung đi qua tâm gọi là đường kính.
* Cho mặt cầu S(O;r) và điểm A trong không gian.
– Nếu OA = r thì điểm A nằm trên mặt cầu
– Nếu OA < r thì điểm A nằm trong mặt cầu.
– Nếu OA > r thì điểm A nằm ngoài mặt cầu.
2. Tính chất:
Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu S (O;r) thì:
– Qua A có vô số tiếp tuyến với mặt càu.
– Độ dài các đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau.
– Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu.
3. Giao của mặt cầu với mặt phẳng
Cho mặt cầu S(O; r) tâm O bán kính r và mặt phẳng (P); H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (P). Khi đó h = OH là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P). Khi đó h = OH là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P).
– Nếu h = r thì (P) tiếp xúc mặt cầu.
– Nếu h > r thì (P) không có điểm chung với mặt cầu.
– Nếu h < r thì (P) giao mặt cầu S(O;r) theo một đường tròn tâm H, bán kính
r=√r2−h2 nằm trên mặt phẳng (P).
4. Giao của mặt cầu với đường thẳng
Cho mặt cầu S(O;r) và đường thẳng ∆. Cọi H là chân đường vuông gó hạ từ O lên ∆, đặt h = OH. Thế thì:
– Khi h = r ta có đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu tại H.
– Khi h < r: đường thẳng ∆ cắt mặt cầu tại hai điểm A, B mà độ dài AB = 2√r2−h2
– Khi h > r đường thẳng ∆ không cắt mặt cầu.
Mặt cầu bán kính r có diện tích là S = 4πr2