Lý thuyết mặt cầu - Hình học lớp 12

Lý thuyết mặt cầu thuộc chương 2 Hình học lớp 12.

1. Định nghĩa mặt cầu 

Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng không đổi r (r>0) được gọi là một mặt cầu tâm O bán kính r.

S(O;r) = {M|OM=r}

* Đoạn thẳng nối hai điểm nằm trên mặt cầu gọi là dây cung của mặt cầu.

* Dây cung đi qua tâm gọi là đường kính.

* Cho mặt cầu S(O;r) và điểm A trong không gian.

- Nếu OA = r thì điểm A nằm trên mặt cầu

- Nếu OA < r thì điểm A nằm trong mặt cầu.

- Nếu OA > r thì điểm A nằm ngoài mặt cầu.

2. Tính chất:

Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu S (O;r) thì:

- Qua A có vô số tiếp tuyến với mặt càu.

- Độ dài các đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau.

- Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu.

3. Giao của mặt cầu với mặt phẳng

Cho mặt cầu S(O; r) tâm O bán kính r và mặt phẳng (P); H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (P). Khi đó h = OH là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P). Khi đó h = OH là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P).

- Nếu h = r thì (P) tiếp xúc mặt cầu.

- Nếu h > r thì (P) không có điểm chung với mặt cầu.

- Nếu h < r thì (P) giao mặt cầu S(O;r) theo một đường tròn tâm H, bán kính

r=r2hnằm trên mặt phẳng (P).

4. Giao của mặt cầu với đường thẳng

Cho mặt cầu S(O;r) và đường thẳng ∆. Cọi H là chân đường vuông gó hạ từ O lên ∆, đặt h = OH. Thế thì:

- Khi h = r ta có đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu tại H.

- Khi h < r: đường thẳng ∆ cắt mặt cầu tại hai điểm A, B mà độ dài  AB = 2r2h2

 - Khi h > r đường thẳng ∆ không cắt mặt cầu.

5. Công thức diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu

Mặt cầu bán kính r có diện tích là S = 4πr2

Khối cầu bắn kính r có thể tích là V = 4/3 xπr3