Lý thuyết và bài tập giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180 độ

A- Lý thuyết lượng giác của góc từ 0 đến 180 độ

1. Định nghĩa

Lấy M trên nửa đường tròn đơn vị tâm O. Xét góc nhọn α = \(\widehat{xOM}\) . Giả sử M(x; y).

Lý thuyết và bài tập giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180 độ-1

Chú ý:

– Nếu α tù thì cosα < 0, tanα < 0, cotα < 0.

– tana chỉ xác định khi α ≠ 900, cotα chỉ xác định khi a 00a 1800.

2. Tính chất

  • Góc phụ nhau

\(\begin{array}{l}\sin ({{90}^{0}}-\alpha )=\cos \alpha \\\cos ({{90}^{0}}-\alpha )=\sin \alpha \\\tan ({{90}^{0}}-\alpha )=\cot \alpha \\\cot ({{90}^{0}}-\alpha )=\tan \alpha \end{array}\)

  • Góc bù nhau

\(\begin{array}{l}\sin ({{180}^{0}}-\alpha )=\sin \alpha \\\cos ({{180}^{0}}-\alpha )=-\cos \alpha \\\tan ({{180}^{0}}-\alpha )=-\tan \alpha \\\cot ({{180}^{0}}-\alpha )=-\cot \alpha \end{array}\)

3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

  00 300 450 600 900 1800
sinα 0  \(\frac{1}{2}\)  \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)  \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) 1 0
cosα 1  \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)  \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)  \(\frac{1}{2}\) 0 –1
tanα 0  \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) 1  \(\sqrt{3}\) || 0
cotα     ||  \(\sqrt{3}\) 1  \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) 0 ||

4. Các hệ thức cơ bản

\(\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\,\,\,\,(\cos \alpha \ne 0)\) ;

\(\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\,\,\,\,(\sin \alpha \ne 0)\) ;

\(\tan \alpha .\cot \alpha =1\,\,(\sin \alpha .\cos \alpha \ne 0)\) ;

\({{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1\) ;

\(1+{{\tan }^{2}}\alpha =\frac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }\,\,(\cos \alpha \ne 0)\) ;

\(1+{{\cot }^{2}}\alpha =\frac{1}{{{\sin }^{2}}\alpha }\,\,\,(\sin \alpha \ne 0)\) ;

B- Bài tập giá trị lượng giác của góc từ 0 đến 180 độ

Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) \(\displaystyle a\sin {{0}^{0}}+b\cos {{0}^{0}}+c\sin {{90}^{0}}\)

b) \(\displaystyle a\cos {{90}^{0}}+b\sin {{90}^{0}}+c\sin {{180}^{0}}\)

c) \(\displaystyle {{a}^{2}}\sin {{90}^{0}}+{{b}^{2}}\cos {{90}^{0}}+{{c}^{2}}\cos {{180}^{0}}\)

d) \(3-{{\sin }^{2}}{{90}^{0}}+2{{\cos }^{2}}{{60}^{0}}-3{{\tan }^{2}}{{45}^{0}}\)

e) \(4{{a}^{2}}{{\sin }^{2}}{{45}^{0}}-3{{(a\tan {{45}^{0}})}^{2}}+{{(2a\cos {{45}^{0}})}^{2}}\)

Bài 2: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) sin x + cos x khi x bằng 00; 450; 600

b) 2sin x + cos 2x khi x bằng 450; 300.

Bài 3: Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính các giá trị lượng giác còn lại:

a) \(\sin \beta =\frac{1}{4}\) , β nhọn

b) \(\cos \alpha =-\frac{1}{3}\)

c) \(\tan x=2\sqrt{2}\)

Bài 4: Biết \(\sin {{15}^{0}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\) . Tính \(\cos {{15}^{0}},\,\,\tan {{15}^{0}},\,\,\cot {{15}^{0}}\)

Bài 5: Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính giá trị của một biểu thức:

a) \(\sin x=\frac{1}{3},\,\,{{90}^{0}}<x<{{180}^{0}}\) . Tính \(A=\frac{\tan x+3\cot x+1}{\tan x+\cot x}\)

b) \(\tan \alpha =\sqrt{2}\) . Tính \(B=\frac{\sin \alpha -\cos \alpha }{{{\sin }^{3}}\alpha +3{{\cos }^{3}}\alpha +2\sin \alpha }\)

Bài 6: Chứng minh các đẳng thức sau:

a) \({{(\sin x+\cos x)}^{2}}=1+2\sin x.\cos x\)

b) \({{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x=1-2{{\sin }^{2}}x.{{\cos }^{2}}x\)

c) \({{\tan }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x={{\tan }^{2}}x.{{\sin }^{2}}x\)

d) \({{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x=1-3{{\sin }^{2}}x.{{\cos }^{2}}x\)

e) \(\sin x.\cos x(1+\tan x)(1+\cot x)=1+2\sin x.\cos x\)

Bài 7: Đơn giản các biểu thức sau:

a) \(\cos y+\sin y.\tan y\)

b) \(\sqrt{1+\cos b}.\sqrt{1-\cos b}\)

c) \(\sin a\sqrt{1+{{\tan }^{2}}a}\)

d) \(\frac{1-{{\cos }^{2}}x}{1-{{\sin }^{2}}x}+\tan x.\cot x\)

e) \(\frac{1-4{{\sin }^{2}}x.{{\cos }^{2}}x}{{{(\sin x+\cos x)}^{2}}}\)

f) \(\sin ({{90}^{0}}-x)+\cos ({{180}^{0}}-x)+{{\sin }^{2}}x(1+{{\tan }^{2}}x)-{{\tan }^{2}}x\)

Bài 8: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) \({{\cos }^{2}}{{12}^{0}}+{{\cos }^{2}}{{78}^{0}}+{{\cos }^{2}}{{1}^{0}}+{{\cos }^{2}}{{89}^{0}}\)

b) \({{\sin }^{2}}{{3}^{0}}+{{\sin }^{2}}{{15}^{0}}+{{\sin }^{2}}{{75}^{0}}+{{\sin }^{2}}{{87}^{0}}\)