Phương pháp hàm số với bài toán phương trình chứa tham số

Sử dụng phương pháp hàm số có thể giải được phương trình, hệ phương trình. Và việc áp dụng phương pháp này được Toancap3.com đề cập dưới đây.

Ta thường gặp một số dạng toán sau:

*Sử dụng tính đơn điệu đưa 2 dạng cơ bản là f(x)=g(m) và f(x)=f(y) với f(t) là hàm đơn điệu.

*Sử dụng việc khảo sát sự biến biến thiên để tìm điều kiện có nghiệm hoặc biện luận số nghiệm của phương trình hoặc hệ phương trình.

Trong quá trình làm 2 dạng trên nhiều trường hợp ta phải đánh giá dấu của đạo hàm dựa vào phương pháp hàm số hoặc sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc : Côsi , Bunhiacopxki,..

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi m>0 phương trình sau luôn có nghiệm

$latex {{\log }_{2}}\left( \frac{\sqrt{{{x}^{2}}+mx+2}}{2x-1} \right)=2x-\sqrt{{{x}^{2}}+mx+2}-1$     (1)

Giải: 

Vì $latex \sqrt{{{x}^{2}}+mx+2}\ge 0$ nên

ĐKXĐ: $latex \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}+mx+2>0\\2x-1>0\end{array} \right.$ (*) do m>0 nên (*) $latex \Leftrightarrow x>\frac{1}{2}$

$latex \left( 1 \right)\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\sqrt{{{x}^{2}}+mx+2}+\sqrt{{{x}^{2}}+mx+2}={{\log }_{2}}\left( 2x-1 \right)+2x-1$   (2)

Xét hàm số : $latex f\left( x \right)={{\log }_{2}}t+t;t\in \left( 0;+\infty \right)$

$latex f’\left( x \right)=\frac{1}{t\ln 2}+1>0,\forall t\in \left( 0;+\infty \right)$ do đó hàm số f(x) đồng biến trên $latex \left( 0;+\infty \right)$

mà $latex \sqrt{{{x}^{2}}+mx+2}>0;2x-1>0$ nên phương trình  (2) $latex \Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+mx+2}=2x-1$ (3)

Với $latex x>\frac{1}{2}$ thì $latex \left( 3 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+mx+2=4{{x}^{2}}-4x+1\Leftrightarrow m=3x-4-\frac{1}{x}$  (4)

Xét hàm số: g(x)=$latex 3x-4-\frac{1}{x};x\in \left( \frac{1}{2};+\infty \right)$, g’(x)>0 , $latex \forall x\in \left( \frac{1}{2};+\infty \right)$

Từ Bảng biến thiên suy phương trình (4) luôn có nghiệm $latex x>\frac{1}{2},\forall m>0$ điều này cũng có nghĩa là phương trình (1) có nghiệm.

*Nhận xét: Cách làm chính của dạng bài này chính là

+ Đưa phương trình (hệ phương trình) về dạng f(x)=f(y) , x,y thuộc D và hàm f(t) đơn điệu trên D

+ Phần còn lại là sử dụng bảng biến thiên của hàm g(x) để biện luận số nghiệm.