Tích phân truy hồi

Tích phân truy hồi là dạng tích phân đại số nói tới dạng tích phân với ẩn số x và số mũ n nguyên dương.

Lý thuyết của phương pháp tích phân truy hồi:

Giả sử cần tính tích phân \(\displaystyle {{I}_{n}}=\int\limits_{a}^{b}{f(x,n)dx}\) (n ∈ N) phụ thuộc vào số nguyên dương n. Ta thường gặp một số yêu cầu sau:
– Thiết lập một công thức truy hồi, tức là biểu diễn \(\displaystyle {{I}_{n}}\) theo các \(\displaystyle {{I}_{n-k}}\) (1 ≤ k ≤ n).
– Chứng minh một công thức truy hồi cho trước.
– Tính một giá trị \(\displaystyle {{I}_{{{n}_{0}}}}\) cụ thể nào đó.
*Bài tập thực hành:
a, Tính \(\displaystyle {{I}_{n}}=\int\limits_{0}^{\frac{\prod }{2}}{\sin _{{}}^{n}xdx}\)

Hướng dẫn: Đặt \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}u=\sin _{{}}^{n-1}x\\dv=\sin \text{x}dx\end{array} \right.\)

b, Tính \(\displaystyle {{I}_{n}}=\int\limits_{0}^{\frac{\prod }{2}}{\cos _{{}}^{n}xdx}\)

Hướng dẫn: Đặt \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}u=\cos _{{}}^{n-1}x\\dv=\cos xdx\end{array} \right.\)

c, Tính \(\displaystyle {{I}_{n}}=\int\limits_{0}^{\frac{\prod }{4}}{\tan _{{}}^{n}xdx}\)

Hướng dẫn: Phân tích \(\displaystyle \tan _{{}}^{n}x=\tan _{{}}^{n-2}x(\tan _{{}}^{2}x+1)-\tan _{{}}^{n-2}x\)