Phương pháp tìm nguyên hàm các hàm số lượng giác
Phương pháp tìm nguyên hàm các hàm số lượng giác là dạng nguyên hàm thường gặp trong các đề thi THPT Quốc gia, đề tuyển sinh Đại học – Cao đẳng.
Phương pháp tìm nguyên hàm các hàm số lượng giác
Phương pháp tìm nguyên hàm các hàm số lượng giác
Phương pháp chung: Sử dụng các phép biến đổi lượng giác đưa biểu thức dưới dấu tích phân về dạng quen thuộc. Các phép biến đổi thường dùng bao gồm:
+ Phép biến đổi tích thành tổng.
+ Hạ bậc.
+ Các kỹ thuật biến đổi khác.
Dạng 1: Sử dụng phép biến đổi tích thành tổng.
Cách giải: Ở đây chúng ta nhớ lại các công thức lượng giác sau:
cosxcosy=12[cos(x+y)+cos(x–y)].
sinxsiny=12[cos(x–y)–cos(x+y)].
sinxcosy=12[sin(x+y)+sin(x–y)].
cosxsiny=12[sin(x+y)–sin(x–y)].
Ví dụ 11: Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f(x)=cos3x.cos5x.
Sử dụng các phép biến đổi tích thành tổng, ta được: f(x)=12(cos8x+cos2x).
Khi đó: F(x)=12∫(cos8x+cos2x)dx =12(18sin8x+12sin2x)+C.
Chú ý: Nếu hàm f(x) là tích của nhiều hơn 2 hàm số lượng giác ta thực hiện phép biến đổi dần, cụ thể ta đi xem xét ví dụ sau:
Ví dụ 12: Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f(x)=cosx.sin2x.cos3x.
Sử dụng các phép biến đổi tích thành tổng, ta được: f(x)=12(sin3x+sinx)cos3x =12(sin3x.cos3x+cos3x.sinx) =12[12sin6x+12(sin4x–sin2x)] =14(sin6x+sin4x+sin2x).
Khi đó: F(x)=14∫(sin6x+sin4x+sin2x)dx =14(–16cos6x–14cos4x–12cos2x)+C =–124cos6x–116cos4x–14cos2x+C.
Ví dụ 13: Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f(x)=tanx.tan(π3–x).tan(π3+x).
Ta có: f(x)=sinx.sin(π3–x).sin(π3+x)cosx.cos(π3–x).cos(π3+x).
Sử dụng các phép biến đổi tích thành tổng, ta được:
sinx.sin(π3–x).sin(π3+x) =12sinx(cos2x–cos2π3) =12cos2x.sinx+14sinx =14(sin3x–sinx)+14sinx =14sin3x.
cosx.cos(π3–x).cos(π3+x) =12cosx(cos2π3+cos2x) =–14cosx+12cos2x.cosx =–14cosx+14(cos3x+cosx) =14cos3x.
Suy ra: f(x)=tan3x.
Khi đó: F(x)=14∫tan3xdx =14∫sin3xcos3xdx= –112∫d(cos3x)cos3x =–112ln|cos3x|+C.
Dạng 2: Sử dụng công thức hạ bậc.
Cách giải: Ở đây chúng ta ghi nhớ lại các công thức lượng giác:
sin2x=1–cos2x2.
cos2x=1+cos2x2.
sin3x=3sinx–sin3x4.
cos3x=3cosx+cos3x4.
Các công thức trên được sử dụng trong các phép hạ bậc mang tính cục bộ, còn hằng đẳng thức: sin2x+cos2x=1 được sử dụng trong các phép hạ bậc mang tính toàn cục cho các biểu thức, ví dụ như:
sin4x+cos4x =(sin2x+cos2x)2–2sin2x.cos2x =1–12sin22x =1–14(1–cos4x) =14cos4x+34.
sin6x+cos6x =(sin2x+cos2x)3 –3sin2x.cos2x(sin2x+cos2x) =1–34sin22x =1–38(1–cos4x) =38cos4x+58.
Ví dụ 14: Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f(x)=sin42x.
Biến đổi f(x) về dạng: f(x)=(1–cos4x2)2 =14(1–2cos4x+cos24x) =14[1–2cos4x+12(1+cos8x)] =18(3–4cos4x+cos8x).
Khi đó: F(x)=18∫(3–4cos4x+cos8x)dx =18(3x–sin4x+18sin8x)+C.
Ví dụ 15: Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f(x)=sin8x+cos8x.
Biến đổi f(x) về dạng: f(x)=(sin4x+cos4x)2–2sin4x.cos4x =(14cos4x+34)2–18sin42x =116cos24x+38cos4x +916–18(1–cos4x2)2 =116⋅1+cos8x2+38cos4x +916–132(1–2cos4x+cos24x)2 =1+cos8x32+38cos4x+916 –132(1–2cos4x+1+cos8x2)2 =164cos8x+716cos4x+3564.
Khi đó: F(x)=164∫cos8xdx+716∫cos4xdx+3564∫dx =1512sin8x+764sin4x+3564+C.
Chú ý: Nhiều bài toán cần vận dụng đồng thời hai kỹ thuật biến đổi tổng thành tích và hạ bậc.
Ví dụ 16: Tìm họ nguyên hàm của hàm số:
a) f(x)=sin3x.sin3x.
b) f(x)=sin3x.cos3x+cos3x.sin3x.
a) Biến đổi f(x) về dạng: f(x)=3sinx–sin3x4sin3x =34sin3x.sinx–14sin23x =38(cos2x–cos4x)–18(1–cos6x) =18(3cos2x–3cos4x+cos6x–1).
Khi đó: F(x)=18∫(3cos2x–3cos4x+cos6x–1)dx =18(32sin2x–34sin4x+16sin6x–x)+C.
b. Biến đổi f(x) về dạng: f(x)=3sinx–sin3x4cos3x +cos3x+3cosx4sin3x =34(cos3x.sinx+sin3x.cosx) =34sin4x.
Khi đó: F(x)=34∫sin4xdx =–316cos4x+C.
Dạng 3: Sử dụng các phép biến đổi lượng giác khác nhau.
Cách giải: Ở đây ngoài việc vận dụng một cách linh hoạt các công thức biến đổi lượng giác các em học sinh còn cần thiết biết cách định hướng trong phép biến đổi.
Ví dụ 17: Tìm họ nguyên hàm của hàm số:
a) f(x)=sinx–cosxsinx+cosx.
b) f(x)=cos2xsinx+cosx.
a) Ta có: F(x)=∫sinx–cosxsinx+cosxdx =–∫d(sinx+cosx)sinx+cosx =–ln(sinx+cosx)+C.
b) Ta có: F(x)=∫cos2xsinx+cosxdx =∫cos2x–sin2xsinx+cosxdx =∫(cosx–sinx)dx =sinx+cosx+C.
Ví dụ 18: Tìm nguyên hàm: I=∫sin3x.sin4xtanx+cot2xdx.
Biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân về dạng: sin3x.sin4xtanx+cot2x =sin3x.sin4xcosxcosx.sin2x =sin4x.sin3x.sin2x =12(cosx–cos7x)sin2x =12(sin2x.cosx–cos7x.sin2x) =14(sin3x+sinx–sin9x+sin5x).
Khi đó: I=14∫(sinx+sin3x+sin5x–sin9x)dx =–14(cosx+13cos3x+15cos5x–19cos9x)+C.
Tổng quát: Các nguyên hàm dạng ∫sinmx.cosnxdx với m, n là những số nguyên được tính nhờ các phép biến đổi hoặc dùng công thức hạ bậc.
Phương pháp 3: Tính tích phân các hàm lượng giác bằng phương pháp đổi biến.
Phương pháp chung: Để tìm nguyên hàm dạng I=∫R(sinx,cosx)dx, trong đó R là hàm hữu tỉ, ta lựa chọn một trong các hướng giải sau:
+ Hướng 1: Nếu R(–sinx,cosx)=–R(sinx,cosx) thì sử dụng phép đổi biến tương ứng là: t=cosx.
+ Hướng 2: Nếu R(sinx,–cosx)=–R(sinx,cosx) thì sử dụng phép đổi biến tương ứng là: t=sinx.
+ Hướng 3: Nếu R(–sinx,–cosx)=R(sinx,cosx) thì sử dụng phép đổi biến: t=tanx (một số trường hợp có thể là: t=cotx).
Do đó với các nguyên hàm dạng:
Nguyên hàm I=∫tannxdx, với n∈Z được xác định nhờ phép đổi biến: t=tanx.
Nguyên hàm I=∫cotnxdx, với n∈Z được xác định nhờ phép đổi biến t=cotx.
+ Hướng 4: Mọi trường hợp đều có thể đưa về tích phân các hàm hữu tỉ bằng phép đổi biến t=tanx2.
Ví dụ 19: Tìm nguyên hàm: I=∫cosx+sinx.cosx2+sinxdx.
Biến đổi I về dạng: I=∫(1+sinx)cosx2+sinxdx.
Đặt t=sinx suy ra: dt=cosxdx và (1+sinx)cosx2+sinxdx=1+t2+tdt.
Khi đó: I=∫1+t2+tdt =∫(1–12+t)dt =t–ln|2+t|+C =sinx–ln|2+sinx|+C.
Nhận xét: Trong bài toán trên sở dĩ ta định hướng được phép biến đổi như vậy là bởi nhận xét rằng: R(sinx,–cosx)=–R(sinx,cosx), do đó sử dụng phép đổi biến tương ứng là t=sinx.
Ví dụ 20: Tìm nguyên hàm: I=∫dxsinx.cos3x.
Biến đổi I về dạng: I=∫dxtanx.cos4x.
Đặt t=tanx, suy ra: dt=dxcos2x và dxtanx.cos4x =1tanx(1+tan2x)dxcos2x =(1+t2)dtt =(1t+t)dt.
Khi đó: I=∫(1t+t)dt =ln|t|+12t2+C =ln|tanx|+12tan2x+C.
Nhận xét:
+ Trong bài toán trên sở dĩ ta định hướng được phép biến đổi như vậy là bởi nhận xét rằng: R(–sinx,–cosx)=R(sinx,cosx).
+ Việc đánh giá hàm số dưới dấu tích phân như trên để lựa chọn phép đặt ẩn phụ thích hợp luôn tỏ ra rất hiệu quả đối với bài toán xác định nguyên hàm của các hàm lượng giác chứa căn. Ta đi xem xét ví dụ sau:
Ví dụ 21: Tìm nguyên hàm: I=∫dx4√sin3x.cos5x.
Biến đổi I về dạng: I=∫dx4√tan3x.cos8x =∫dxcos2x.4√tan3x.
Đặt t=tanx, suy ra: dt=dxcos2x và dxcos2x.4√tan3x=dt4√t3.
Khi đó: I=∫dt4√t3 =44√t+C =44√tanx+C.
Ví dụ 22: Tìm nguyên hàm: I=∫sinxdxcosx√sin2x+1.
Đặt t=cosx⇒dt=–sinxdx, do đó: I=–∫dtt√2–t2.
Ta cần xét 2 trường hợp: t>0 và t<0:
+ Với t>0, ta có: I=–∫dtt2√2t2–1 =∫d(1t)√2t2–1 =1√2ln|√2t+√2t2–1|+C =1√2ln|√2+√2–t2t|+C.
+ Với t<0, ta có: I=∫dtt2√2t2–1 =–∫d(1t)√2t2–1 =–1√2ln|√2t+√2t2–1|+C =–1√2ln|√2–√2–t2t|+C =1√2ln|√2+√2–t2t|+C.
Tóm lại ta được: I=1√2ln|√2+√2–t2t|+C =1√2ln|√2+√1+sin2xcosx|+C.
Phương pháp 4: Xác định nguyên hàm các hàm lượng giác bằng phương pháp tích phân từng phần.
Phương pháp chung:
Dạng 1: Tìm nguyên hàm: ∫P(x)sinαxdx hoặc ∫P(x)cosαxdx, với P là một đa thức thuộc R[X] và α∈R∗.
Khi đó, ta đặt: {u=P(x)dv=sinαxdx hoặc {u=P(x)dv=cosαxdx
Dạng 2: Tìm nguyên hàm: ∫eaxcosbxdx hoặc ∫eaxsinbxdx với a,b≠0.
Khi đó, ta đặt: {u=cosbxdv=eaxdx hoặc {u=sinbxdv=eaxdx
Ví dụ 23: Tìm nguyên hàm: I=∫xcos2xdx.
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, bằng cách đặt: {u=xdv=dxcos2x ⇒{du=dxv=tanx
Khi đó: I=xtanx–∫tanxdx =xtanx–∫sinxcosxdx =xtanx+∫d(cosx)cosx =xtanx+ln|cosx|+C.
Ví dụ 24: Tìm nguyên hàm: I=∫cos2xdxsin3x.
Biến đổi I về dạng: I=∫cosx⋅d(sinx)sin3x.
Đặt {u=cosxdv=d(sinx)sin3x ⇒{du=–sinxdxv=–1sin2x
Khi đó: I=–cosxsin2x–∫dxsinx =–cosxsin2x–∫d(ln|tanx2|) =–cosxsin2x–ln|tanx2|+C.
Chú ý: Bài toán trên cũng có thể giải được bằng phương pháp đổi biến số, bằng cách nhận xét rằng: R(–sinx,cosx)=–R(sinx,cosx), ta sử dụng phép đổi biến tương ứng là t=cosx.