2 dạng toán cơ bản nhất về nhị thức Newton

Bài viết này Toancap3.com giới thiệu với các em 2 dạng toán cơ bản nhất về nhị thức Newton mà các em thường gặp trong các đề thi đại học.

Trước tiên sẽ nêu lại lý thuyết về nhị thức Newton, sau đó nêu lên 2 dạng toán với các ví dụ kèm lời giải là các bài toán từng thi trong các đề thi Toán đại học những năm vừa qua.

A. KIẾN THỨC LIÊN QUAN

  • Công thức khai triển nhị thức Newton: \displaystyle {\left( {a + b} \right)^n}=\sum\limits_{k=0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}}, \left(a,b\in \mathbb{R};n\in \mathbb{N}^*\right)
  • Công thức số tổ hợp: C_n^k=\dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}=\dfrac{{n\left( {n - 1} \right)...\left( {n - k + 1} \right)}}{{k!}}, \left(0\le k\le n\right)
  • Tính chất lũy thừa: {a^\alpha }.{a^\beta }={a^{\alpha + \beta }};\dfrac{{{a^\alpha }}}{{{a^\beta }}}={a^{\alpha - \beta }};{\left( {{a^\alpha }} \right)^\beta }={a^{\alpha \beta }};{\left( {ab} \right)^\alpha }={a^\alpha }{b^\alpha };{\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^\alpha }=\dfrac{{{a^\alpha }}}{{{b^\alpha }}}

B. CÁC DẠNG TOÁN

DẠNG 1: Tìm số hạng chứa x^{\alpha} trong khai triển (a+b)^n

Phương pháp.

  • Viết khai triển \left( {a + b} \right)^n=\sum\limits_{k=0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}}
  • Biến đổi khai triển thành (a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n {A.x^{f(k)}}
  • Số hạng chứa x^{\alpha} tương ứng với số hạng chứa k thỏa f(k)=\alpha
  • Từ đó suy ra số hạng cần tìm

Ví dụ 1: Tìm hệ số của x^{15} trong khai triển đa thức:

P(x)=(2x-3x^2)^{10}

Lời giải.

Ta có \displaystyle P(x)={\left( {2x - 3{x^2}} \right)^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10} {C_{10}^k{{\left( {2x} \right)}^{10 - k}}{{\left( { - 3{x^2}} \right)}^k}}=\sum\limits_{k=0}^{10} {C_{10}^k{2^{10 - k}}{{\left( { - 3} \right)}^k}{x^{10 + k}}}

Số hạng chứa x^{15} tương ứng với số hạng chứa k thỏa 10+k=15\Leftrightarrow k=5

Vậy hệ số của số hạng chứa x^{15}C_{10}^5{.2^5}.{\left( { - 3} \right)^5}=- {6^5}C_{10}^5

 

Ví dụ 2: (D-04) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển thành đa thức của biểu thức:

{\left( {\sqrt[3]{x} + \frac{1}{{\sqrt[4]{x}}}} \right)^7},x > 0

Lời giải.

Ta có \displaystyle {\left( {\sqrt[3]{x} + \frac{1}{{\sqrt[4]{x}}}} \right)^7} = {\left( {{x^{\frac{1}{3}}} + {x^{ - \frac{1}{4}}}} \right)^7} = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k{{\left( {{x^{\frac{1}{3}}}} \right)}^{7 - k}}} {\left( {{x^{ - \frac{1}{4}}}} \right)^k} = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k{x^{\frac{7}{3} - \frac{{7k}}{{12}}}}}

Số hạng không chứa x tương ứng số hạng chứa k thỏa \displaystyle \frac{7}{3} - \frac{{7k}}{{12}}=0\Leftrightarrow k=4

Vậy số hạng không chứa xC_7^4=35.

Ví dụ 3: (A-03) Tìm hệ số của số hạng chứa x^8 trong khai triển {\left( {\dfrac{1}{{{x^3}}} + \sqrt {{x^5}} } \right)^n}, biết:

C_{n + 4}^{n + 1} - C_{n + 3}^n = 7\left( {n + 3} \right)

Lời giải.

Theo giả thiết có: C_{n + 4}^{n + 1} - C_{n + 3}^n = 7\left( {n + 3} \right)

\Leftrightarrow \dfrac{{(n + 4)(n + 3)(n + 2)}}{{3!}} - \dfrac{{(n + 3)(n + 2)(n + 1)}}{{3!}} = 7\left( {n + 3} \right)\Leftrightarrow n=12

Khi đó {\left( {\frac{1}{{{x^3}}} + \sqrt {{x^5}} } \right)^n} = {\left( {{x^{ - 3}} + {x^{\frac{5}{2}}}} \right)^{12}} = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k{{\left( {{x^{ - 3}}} \right)}^{12 - k}}{{\left( {{x^{\frac{5}{2}}}} \right)}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k{x^{\frac{{11}}{2}k - 36}}}

Số hạng chứa x^8 tương ứng số hạng chứa k thỏa \displaystyle \frac{{11}}{2}k - 36\Leftrightarrow k=8

Vậy hệ số của số hạng chứa x^8C_{12}^8 = 495

Ví dụ 4: (A-04) Tìm hệ số của x^8 trong khai triển thành đa thức của biểu thức:

{\left( {1 + {x^2}\left( {1 - x} \right)} \right)^8}

Lời giải.

Ta có khai triển: {\left( {1 + {x^2}\left( {1 - x} \right)} \right)^8}= \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{{\left[ {{x^2}(1 - x)} \right]}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{x^{2k}}{{(1 - x)}^k}}

= \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{x^{2k}}\left( {\sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i{{( - x)}^i}} } \right)}= \sum\limits_{k = 0}^8 {\sum\limits_{i = 0}^k {C_8^k{x^{2k}}C_k^i{{( - 1)}^i}{x^i}} } = \sum\limits_{k = 0}^8 {\sum\limits_{i = 0}^k {C_8^kC_k^i{{( - 1)}^i}{x^{2k + i}}} }

Số hạng chứa x^8 tương ứng số hạng chứa ki thỏa 2k+i=8

0\le i\le k\le 8 nên 2k + i = 8 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k = 3\\ i = 2 \end{array} \right. hoặc \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {k = 4}\\ {i = 0} \end{array}} \right.

Vậy hệ số của số hạng chứa x^8C_8^3C_3^2{( - 1)^2} + C_8^4C_4^0{( - 1)^0} = 238

DẠNG 2: Ứng dụng của nhị thức Newton trong các bài toán liên quan đến C_n^k

Phương pháp.

  • Chọn một khai triển (a+x)^n phù hợp, ở đây a là hằng số
  • Sử dụng các phép biến đổi đại số hoặc lấy đạo hàm, tích phân
  • Dựa vào điều kiện bài toán, thay x bởi một giá trị cụ thể

Ví dụ 5: (D-02) Tìm số nguyên dương n thoả mãn hệ thức:

C_n^0 + 2.C_n^1 + {2^2}.C_n^2 + ... + {2^n}.C_n^n=243

Lời giải.

Xét khai triển {(1 + x)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{x^k}}

Chọn x=2 ta có {3^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{2^k}}

Lại theo giả thiết ta có 3^n=243\Leftrightarrow n=5

Ví dụ 6: (A-06) Tìm hệ số của x^{26} trong khai triển {\left( {\frac{1}{{{x^4}}} + {x^7}} \right)^n}, biết:

C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^n = {2^{20}} - 1

Lời giải.

Xét khai triển {(1 + x)^{2n+1}} = \sum\limits_{k = 0}^{2n+1} {C_{2n+1}^k{x^k}}

Chọn x=1 ta có {2^{2n + 1}} = \sum\limits_{k = 0}^{2n + 1} {C_{2n + 1}^k}

Lại có C_{2n + 1}^k = C_{2n + 1}^{2n + 1 - k} nên {2^{2n + 1}} = \sum\limits_{k = 0}^{2n + 1} {C_{2n + 1}^k} = 2\sum\limits_{k = 0}^n {C_{2n + 1}^k} \Leftrightarrow {2^{2n}} - 1 = \sum\limits_{k = 1}^n {C_{2n + 1}^k}

Lại theo giả thiết có {2^{2n}} - 1 = {2^{20}} - 1 \Leftrightarrow k = 10

Khi đó {\left( {\dfrac{1}{{{x^4}}} + {x^7}} \right)^n} = {\left( {{x^{ - 4}} + {x^7}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{{\left( {{x^{ - 4}}} \right)}^{10 - k}}{{\left( {{x^7}} \right)}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{x^{11k - 40}}}

Số hạng chứa x^{26} tương ứng số hạng chứa k thỏa 11k-40=26\Leftrightarrow k=6

Vậy hệ số của số hạng chứa x^{26}C_{10}^6 = 210

Ví dụ 7: (D-08) Tìm số nguyên dương n thoả mãn hệ thức:

C_{2n}^1 + C_{2n}^3 + ... + C_{2n}^{2n - 1} = 2048

Lời giải.

Xét khai triển {(1 + x)^{2n}} = \sum\limits_{k = 0}^{2n} {C_{2n}^k{x^k}}

Chọn lần lượt x=1x=-1 ta có \begin{cases} {2^{2n}} = \sum\limits_{k = 0}^{2n} {C_{2n}^k}&(1)\\ 0 = \sum\limits_{k = 0}^{2n} {C_{2n}^k{{( - 1)}^k}}&(2) \end{cases}

Trừ theo vế (1) và (2) ta có {2^{2n}} = 2\left( {C_{2n}^1 + C_{2n}^3 + ... + C_{2n}^{2n - 1}} \right)

Lại theo giả thiết có {2^{2n}} = 2.2048 \Leftrightarrow {2^{2n}} = {2^{12}} \Leftrightarrow n = 6

Ví dụ 8: (A-05) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn:

C_{2n + 1}^1 - 2.2C_{2n + 1}^2 + {3.2^2}C_{2n + 1}^3 + ... + {\left( { - 1} \right)^n}{2^{2n}}C_{2n + 1}^{2n + 1} = 2005

Lời giải.

Xét khai triển {(1 + x)^{2n+1}} = \sum\limits_{k = 0}^{2n+1} {C_{2n+1}^k{x^k}}

Lấy đạo hàm hai vế được (2n + 1){(1 + x)^{2n}} = \sum\limits_{k = 0}^{2n + 1} {C_{2n + 1}^kk{x^{k - 1}}}

Thay x=-2 ta có 2n + 1 = \sum\limits_{k = 0}^{2n + 1} {C_{2n + 1}^kk{{\left( { - 1} \right)}^{k - 1}}{2^{k - 1}}}

Theo giả thiết ta có 2n+1=2005\Leftrightarrow n=1002

Ví dụ 9: Chứng minh rằng:

2.1.C_n^2 + 3.2.C_n^3 + 4.3.C_n^4 + ... + n\left( {n - 1} \right)C_n^n = n\left( {n - 1} \right){2^{n - 2}}

Lời giải:

Xét khai triển {\left( {1 + x} \right)^{n}} = \sum\limits_{k = 0}^{n} {C_{n}^k{x^k}}

Lấy đạo hàm cấp hai hai vế ta có: n(n - 1){\left( {1 + x} \right)^{n - 2}} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^kk(k - 1){x^{k - 2}}}.

Chọn x=1 ta có n(n - 1){2^{n - 2}} = \sum\limits_{k = 2}^n {C_n^kk(k - 1)} (đpcm)

Ví dụ 10: (B-03) Cho n là số nguyên dương. Tính tổng:

\displaystyle C_n^0 + \frac{{{2^2} - 1}}{2}C_n^1 + \frac{{{2^3} - 1}}{3}C_n^2 + ... + \frac{{{2^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}}C_n^n

Lời giải.

Xét khai triển {\left( {1 + x} \right)^{n}} = \sum\limits_{k = 0}^{n} {C_{n}^k{x^k}}

Lấy tích phân từ 1 đến 2 cả hai vế ta có: \displaystyle\int\limits_1^2 {{{\left( {1 + x} \right)}^n}dx} = \int\limits_1^2 {\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{x^k}dx} }

\displaystyle\Leftrightarrow \left. {\frac{{{{(1 + x)}^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right|_1^2 = \left. {\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k\frac{{{x^{k + 1}}}}{{k + 1}}} } \right|_1^2 \Leftrightarrow \frac{{{3^{n + 1}} - 2^{n+1}}}{{n + 1}} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k\frac{{{2^{k + 1}} - 1}}{{k + 1}}}

Vậy \displaystyle \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k\frac{{{2^{k + 1}} - 1}}{{k + 1}}}=\frac{{{3^{n + 1}} - 2^{n+1}}}{{n + 1}}


BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1. Tìm hệ số của số hạng chứa x^{12} trong khai triển biểu thức \left(x^2+\frac{2}{x}\right)^{21}

2. (A-2012) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5C_n^{n - 1} = C_n^3

Tìm số hạng chứa x^5 trong khai triển nhị thức Newton của \displaystyle {\left( {\frac{{n{x^2}}}{{14}} - \frac{1}{x}} \right)^n},x \ne 0

3. (A-03) Tìm hệ số của số hạng chứa x^8 trong khai triển {\left( {\frac{1}{{{x^3}}} + \sqrt {{x^5}} } \right)^n}, biết:

C_{n + 4}^{n + 1} - C_{n + 3}^n = 7\left( {n + 3} \right)

4. (A-02) Cho khai triển biểu thức

{\left( {{2^{\frac{{x - 1}}{2}}} + {2^{ - \frac{x}{3}}}} \right)^n} = C_n^0{\left( {{2^{\frac{{x - 1}}{2}}}} \right)^n} + C_n^1{\left( {{2^{\frac{{x - 1}}{2}}}} \right)^{n - 1}}\left( {{2^{ - \frac{x}{3}}}} \right) + ... + C_n^n{\left( {{2^{ - \frac{x}{3}}}} \right)^n}

biết rằng trong khai triển đó C_n^3 = 5C_n^1 và số hạng thứ tư bằng 20n. Tìm nx

5. (D-07) Tìm hệ số của x^5 trong khai triển thành đa thức của biểu thức:

x{\left( {1 - 2x} \right)^5} + {x^2}{\left( {1 + 3x} \right)^{10}}

6. (D-03) Với n là số nguyên dương, gọi a_{3n-3} là hệ số của x^{3n-3} trong khai triển thành đa thức của {\left( {{x^2} + 1} \right)^n}{\left( {x + 2} \right)^n}.Tìm n để {a_{3n - 3}} = 26n.

7. Tính tổng S = C_{2013}^0 + 3C_{2013}^1 + 3^2C_{2013}^2 + ... + 3^{2013}C_{2013}^{2013}

8. (B-07) Tìm hệ số của số hạng chứa x^{10} trong khai triển biểu thức:

{\left( {2 + x} \right)^n}, biết {3^n}C_n^0 - {3^{n - 1}}C_n^1 + {3^{n - 2}}C_n^2 + ... + {\left( { - 1} \right)^n}C_n^n = 2048

9. (A-08) Cho khai triển:

{\left( {1 + 2x} \right)^n} = {a_0} + {a_1}x + ... + {a_n}{x^n},\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)

và các hệ số {a_0},{a_1},{a_2},...,{a_n} thoả mãn hệ thức {a_0} + \frac{{{a_1}}}{2} + \frac{{{a_2}}}{4} + ... + \frac{{{a_n}}}{{{2^n}}} = 4096

Tìm số lớn nhất trong các số {a_0},{a_1},{a_2},...,{a_n}

10. Tính tổng S = C_{2013}^0 + C_{2013}^2 + C_{2013}^4 + ... + C_{2013}^{2012}

11. Tính tổng {\left( {C_{2014}^0} \right)^2} + {\left( {C_{2014}^1} \right)^2} + {\left( {C_{2014}^2} \right)^2} + ... + {\left( {C_{2014}^{2014}} \right)^2}

12. Tìm số tự nhiên n sao cho 1.C_n^1 + 2.C_n^2 + ... + nC_n^n = n{.2^{2013}}

13. Tính tổng S = 2C_n^0 + 5C_n^1 + 8C_n^2 + ... + \left( {3n + 2} \right)C_n^n

14. Tính tổng S = {1^2}C_{2013}^1{2^{2012}} + {2^2}C_{2013}^2{2^{2011}} + ... + {2013^2}C_{2013}^{2013}{2^0}

15. (A-07) Chứng minh rằng \displaystyle \frac{1}{2}C_{2n}^1 + \frac{1}{4}C_{2n}^3 + ... + \frac{1}{{2n}}C_{2n}^{2n - 1} = \frac{{{2^{2n}} - 1}}{{2n + 1}}