2 phương pháp giải bài toán về tính đơn điệu trên khoảng cho trước

Từ các điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước chúng ta lập được ra 2 phương pháp giải bài toán về tính đơn điệu trên khoảng cho trước.

Có hai phương pháp chính để giải các bài toán về tính đơn điệu trên khoảng cho trước.

PP1: Rút m theo x, rồi dựa vào bài toán cụ thể để tìm m.
PP2: Lập bảng biến thiên để tìm các khoảng đơn điệu cụ thể, từ đó rút ra kết luận.

Ví dụ 1. (A-2013) Tìm m để hàm số y=-x^3+3x^2+3mx-1 nghịch biến trên \left( {0;+\infty} \right).

Lời giải. Ta có y'=-3x^2+6x+3m.

Hàm số nghịch biến trên \left( {0;+\infty} \right) khi và chỉ khi y'\le 0,\forall x\in \left( {0;+\infty} \right)
\Leftrightarrow -3x^2+6x+3m\le 0 ,\forall x\in \left( {0;+\infty} \right) \Leftrightarrow m\le x^2-2x, \forall x\in \left( {0;+\infty} \right)\ (1).

Xét hàm số f(x)=x^2-2x trên \left( {0;+\infty} \right)f'(x)=2x-2; f'(x)=0\Leftrightarrow x=1.

Bảng biến thiên: \begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & 0 & \; & 1 & \; & +\infty \\ \hline f'(x) & \; & - & 0 & + & \; \\ \hline & \;0 & \; & \; & \; & +\infty \\ f(x) & \; & \searrow & \; & \nearrow & \; \\ & \; & \; & -1 & \;&\\ \hline \end{array}.

Từ bảng biên thiên ta có (1)\Leftrightarrow m\le -1.

Vậy với m\le -1, hàm số đã cho nghịch biến trên \left( {0;+\infty} \right).

Ví dụ 2. Tìm m để hàm số y=- \dfrac{1}{3}{x^3} + \left( {m - 1} \right){x^2} + \left( {m + 3} \right)x + 4 đồng biến trên \left( {0;3} \right).

Lời giải. Ta có: y' = - {x^2} + \left( {m - 1} \right)x + m + 3.

Hàm số đồng biến trên \left( {0;3} \right) khi và chỉ khi y' \ge 0,\forall x \in \left( {0;3} \right)
\Leftrightarrow - {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + m + 3 \ge 0,\forall x \in \left( {0;3} \right)
\Leftrightarrow m \ge \dfrac{{{x^2} + 2x - 3}}{{2x + 1}},\forall x \in \left( {0;3} \right)\ (2).

Xét hàm số \displaystyle f(x) = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{2x + 1}} trên \left[ {0;3} \right]\displaystyle f'(x) = \frac{{2{x^2} + 2x + 8}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \left[ {0;3} \right].

Bảng biến thiên: \begin{array}{|c|ccc|} \hline x & 0 & \; & 3 \\ \hline f'(x) & \; & + & \\ \hline & \; & \; & \dfrac{12}{7} \\ f(x) & \; & \nearrow & \; \\ & -3 & \; & \\ \hline \end{array}.

Từ bảng biến thiên suy ra \displaystyle (2) \Leftrightarrow m \ge \frac{{12}}{7}.

Vậy với \displaystyle m \ge \frac{{12}}{7}, hàm số đã cho luôn đồng biến trên \left( {0;3} \right).

Ví dụ 3. Tìm m để hàm số y = {x^3} - \left( {2m + 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} + 2m} \right)x + 1 đồng biến trên \left( {0; + \infty } \right).

Lời giải. Ta có: y' = 3{x^2} - 2\left( {2m + 1} \right)x + {m^2} + 2m;
\Delta '_{y'} = {\left( {2m + 1} \right)^2} - 3\left( {{m^2} + 2m} \right) = {\left( {m - 1} \right)^2}.

Với m = 1, ta có y' \ge 0,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow hàm số luôn đồng biến trên \mathbb{R}
Do đó hàm số đồng biến trên \left( {0; + \infty } \right) nên m=1 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Với m \ne 1, ta có \displaystyle y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_1} = \dfrac{{2m + 1 - \left| {m - 1} \right|}}{3}\\ {x_2} = \dfrac{{2m + 1 + \left| {m - 1} \right|}}{3} \end{array} \right..

Bảng biến thiên: \begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & \; & x_1 & \; & x_2 & \; & +\infty \\ \hline y' & \; & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline & \; & \; & y(x_1) & & & \; & +\infty \\ y & \; & \nearrow & \; & \searrow & \; & \nearrow & \\ & -\infty & & & \;& y(x_2) & \; & \\ \hline \end{array}.

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên \left( {0; + \infty } \right)
\Leftrightarrow \dfrac{{2m + 1 + \left| {m - 1} \right|}}{3} \le 0 \Leftrightarrow \left| {m - 1} \right| \le - 2m - 1.

Với m > 1, ta có \left| {m - 1} \right| \le - 2m - 1 \Leftrightarrow m - 1 \le - 2m - 1 \Leftrightarrow m \le 0 (loại).

Với m < 1, ta có \left| {m - 1} \right| \le - 2m - 1 \Leftrightarrow - m + 1 \le - 2m - 1 \Leftrightarrow m \le - 2 (thỏa mãn).

Vậy với m \le - 2 hoặc m = 1, hàm số đã cho đồng biến trên \left( {0; + \infty } \right).

Ví dụ 4. Tìm m để hàm số y = \dfrac{{{x^2} - 2mx + 2{m^2} - 2}}{{x - m}} đồng biến trên \left( {1; + \infty } \right).

Lời giải. Tập xác định: D = \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}.

Ta có: \displaystyle y' = \dfrac{{{x^2} - 2mx + 2}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}.

Hàm số đồng biến trên \left( {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y' \ge 0,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\\ m \notin \left( {1; + \infty } \right) \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{{{x^2} - 2mx + 2}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}} \ge 0,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\\ m \le 1 \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 2mx + 2 \ge 0,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right) \\ m \le 1 \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle m \le \frac{{{x^2} + 2}}{{2x}},\forall x \in \left( {1; + \infty } \right) \\ m \le 1 \end{array} \right.\ (4).

Xét hàm số \displaystyle f(x) = \frac{{{x^2} + 2}}{{2x}} trên \left[ {1; + \infty } \right)f'(x) = \dfrac{{2{x^2} - 4}}{{4{x^2}}};f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt 2 .

Bảng biến thiên: \begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & 1 & \; & \sqrt 2 & \; & +\infty \\ \hline f'(x) & \; & - & 0 & + & \; \\ \hline & \;\dfrac{3}{2} & \; & \; & \; & +\infty \\ f(x) & \; & \searrow & \; & \nearrow & \; \\ & \; & \; & \sqrt 2 & \;&\\ \hline \end{array}.

Từ bảng biến thiên ta có (4) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \le \sqrt 2 \\ m \le 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 1 .

Vậy với m \le 1, hàm số đã cho đồng biến trên \left( {1; + \infty } \right).

Ví dụ 5. Tìm a để hàm số y = {x^3} + 3{x^2} + ax + a nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.

Lời giải. Ta có: y' = 3{x^2} + 6x + a; \Delta'_{y'} = 9 - 3a .

Với 9 - 3a \le 0 \Leftrightarrow a \ge 3 \Rightarrow y' \ge 0,\forall \in \mathbb{R}
\Rightarrow hàm số luôn đồng biến trên \mathbb{R}, mâu thuẫn giả thiết.

Do đó a \ge 3 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Với 9 - 3a > 0 \Leftrightarrow a < 3 \Rightarrow y' có hai nghiệm {x_1},{x_2}\left( {{x_1} < {x_2}} \right) .

Bảng biến thiên: \begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & \; & x_1 & \; & x_2 & \; & +\infty \\ \hline y' & \; & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline & \; & \; & y(x_1) & & & \; & +\infty \\ y & \; & \nearrow & \; & \searrow & \; & \nearrow & \\ & -\infty & & & \;& y(x_2) & \; & \\ \hline \end{array}.

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 khi và chỉ khi \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 1\Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 1 \Leftrightarrow 4 - \dfrac{{4a}}{3} = 1 \Leftrightarrow a = \dfrac{9}{4} (thỏa mãn).

Vậy với \displaystyle a = \frac{9}{4}, hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.

Nhận xét: Đối với các bài toán có m bậc nhất và có khoảng đơn điệu cụ thể nên dùng PP1 còn các bài toán có bậc m lớn hơn 1 và khoảng đơn điệu không cụ thể phải dùng PP2.

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1. Tìm m để hàm số y = {x^3} + 3{x^2} - mx - 4 đồng biến trên \left( { - \infty ;0} \right).

2. Tìm m để hàm số y = \dfrac{1}{3}m{x^3} - \left( {m - 1} \right){x^2} + 3\left( {m - 2} \right)x + \dfrac{1}{3} đồng biến trên \left[ {2; + \infty } \right).

3. Tìm m để hàm số y = {x^4} - 8m{x^2} + 9m đồng biến trên \left( {2; + \infty } \right).

4. Tìm m để hàm số \displaystyle y = \frac{{mx + 4}}{{x + m}} nghịch biến trên \left( { - \infty ;1} \right).

5. Tìm m để hàm số \displaystyle y = \frac{{m{x^2} + 6x - 2}}{{x + 2}} nghịch biến trên \left[ {1; + \infty } \right).

6. Tìm a để hàm số \displaystyle y = \frac{{{x^2} - 2ax + 4{a^2}}}{{x - 2a}} đồng biến trên \left( {2; + \infty } \right).

7. Tìm m để hàm số y = {x^3} + 3{x^2} + \left( {m + 1} \right)x + 4m đồng biến trên mỗi khoảng \left( { - \infty ; - 2} \right)\left( {2; + \infty } \right).

8. Tìm a để hàm số y = {x^3} - 3\left( {a - 1} \right){x^2} + 3(a - 2)x + 1 đồng biến trên mỗi khoảng có hoành độ thỏa 1 \le \left| x \right| \le 2.

9. Tìm m để hàm số y = \dfrac{1}{3}\left( {m + 1} \right){x^3} + \left( {2m - 1} \right){x^2} - \left( {3m + 2} \right)x + m nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 4.

10. Tìm m để hàm số y = - \dfrac{1}{3}{x^3} + {x^2} + \left( {3m + 2} \right)x + m - 3 đồng biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn 4.

(Theo nmhieupdp.wordpress.com)