3 cách tính xác suất thường dùng

Xác suất là một trong những nội dung cơ bản của Toán học phổ thông và thường gặp trong đề thi môn Toán ở các kỳ thi THPT quốc gia.

Bài viết này nhằm giới thiệu các dạng toán và các phương pháp tính xác suất. Đó là 3 cách tính xác suất thường dùng.

A. Kiến thức xác suất cần nhớ

1. Phép thử ngẫu nhiên

• Phép thử ngẫu nhiên là một thí nghiệm hay một hành động mà :

-Kết quả của nó không dự đoán trước được;

-Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó.

• Tập tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử gọi là không gian mẫu của phép thử, ký hiệu \Omega .

2. Biến cố

• Một biến cố A liên quan tới phép thử T được mô tả bởi một tập con {\Omega _A} của không gian mẫu. Biến cố A xảy ra khi kết quả của T thuộc \Omega_A. Mỗi phần tử của \Omega_A gọi là một kết quả thuận lợi cho A.

• Biến cố hợp : Là biến cố “A hoặc B xảy ra”, ký hiệu A\cup B. Ta có \Omega_{A\cup B}=\Omega_A\cup \Omega_B.

• Biến cố giao : Là biến cố “Cả AB cùng xảy ra”, ký hiệu A\cap B. Ta có \Omega_{A\cap B}=\Omega_A\cap \Omega_B.

• Biến cố đối : Là biến cố “Không xảy ra A“, ký hiệu \overline{A}. Ta có \left( {{\Omega _{\overline A }}=\Omega \backslash {\Omega _A}} \right).

• Biến cố xung khắc : Là hai biến cố AB mà nếu A xảy ra thì B không xảy ra và ngược lại.

• Biến cố độc lập : Là hai biến cố AB mà việc xảy ra hay không xảy ra A không ảnh hưởng đến việc xảy ra hay không xảy ra B và ngược lại.

3. Xác suất của một biến cố

• Giả sử phép thử T có không gian mẫu \Omega là một tập hữu hạn và các kết quả của T là đồng khả năng. Nếu A là một biến cố liên quan đến phép thử T thì xác suất của A là một số, ký hiệu là P(A), được xác định bởi công thức P(A)=\dfrac{\left|\Omega_A\right|}{|\Omega|}.

• Tính chất : 0 \leqslant P\left( A \right) \leqslant 1, P\left( \emptyset \right) = 0, P\left( \Omega \right) = 1, P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right).

• Quy tắc cộng xác suất : Nếu A,B xung khắc thì P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right).

• Quy tắc nhân xác suất : Nếu A,B độc lập thì P\left( {A \cap B} \right) = P\left( {AB} \right) = P\left( A \right)\times P\left( B \right).

4. Biến ngẫu nhiên rời rạc

• Là giá trị độc lập X = \left\{ {{x_1},{x_2},...,{x_n}} \right\} nhận kết quả bằng số, hữu hạn và không dự đoán trước được.

• Xác suất tại {x_k} : P\left( {X = {x_k}} \right) = {p_k},\left( {k = 1..n} \right). Khi đó {p_1} + {p_2} + ... + {p_n} = 1.

• Bảng phân bố xác suất : \begin{array}{|c|c c c|c c c|c c c|c c c|} \hline X& &x_1& & &x_2& & &...& & &x_n& \\ \hline P& &p_1& & &p_2& & &...& & &p_n& \\ \hline \end{array}

• Kỳ vọng : E\left( X \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}{p_i}} .

• Phương sai : V\left( X \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {x_i^2{p_i} - {E^2}\left( X \right)} .

• Độ lệch chuẩn : \sigma \left( X \right) = \sqrt {V\left( X \right)} .

B. Các dạng toán và Cách tính xác suất

Dạng 1. Tính xác suất bằng định nghĩa

Phương pháp

C1 : Tính trực tiếp.

-Xác định phép thử T và tính số phần tử của không gian mẫu |\Omega|;

-Xác định biến cố A và tính số phần tử tập mô tả biến cố \Omega_A;

-Sử dụng công thức P(A)=\dfrac{\left|\Omega_A\right|}{|\Omega|} để tính xác suất.

C2 : Tính gián tiếp thông qua biến cố đối.

-Xác định phép thử T và tính số phần tử của không gian mẫu |\Omega|;

-Xác định biến cố A, từ đó suy ra biến cố \overline{A};

-Tính số phần tử tập mô tả biến cố \Omega_{\overline{A}} và tính xác suất P(\overline{A})=\dfrac{\left|\Omega_{\overline{A}}\right|}{|\Omega|};

-Xác suất biến cố AP(A)=1-P(\overline{A}).

Ví dụ 1. (A-2014) Từ một hộp chứa 16 thẻ được đánh số từ 1 đến 16, chọn ngẫu nhiên 4 thẻ. Tính xác suất để 4 thẻ được chọn đều được đánh số chẵn.

Lời giải.
Phép thử là chọn ngẫu nhiên 4 thẻ trong 16 thẻ nên ta có |\Omega|=C_{16}^4=1820.

Gọi A là biến cố “4 thẻ được chọn đều được đánh số chẵn”, ta có |\Omega_A|=C_{8}^4=70.

Vậy xác suất để 4 thẻ được chọn đều được đánh số chẵn là P(A)=\dfrac{|\Omega_A|}{|\Omega|}=\dfrac{1}{26}.

Ví dụ 2. Một nhóm học tập gồm 7 nam và 5 nữ, trong đó có bạn nam A và bạn nữ B. Chọn ngẫu nhiên 6 bạn để lập một đội tuyển thi học sinh giỏi. Tính xác suất để đội tuyển có 3 nam và 3 nữ, trong đó phải có hoặc bạn nam A, hoặc bạn nữ B nhưng không có cả hai.

Lời giải.

Phép thử là chọn 6 học sinh trong tổng số 12 học sinh nên ta có |\Omega|=C_{12}^6=924.

Gọi A là biến cố “đội tuyển có 3 nam và 3 nữ, trong đó phải có hoặc bạn nam A, hoặc bạn nữ B nhưng không có cả hai”, ta có \displaystyle \left| {{\Omega _A}} \right| = C_6^2.C_4^3+C_6^3.C_4^2 = 180.

Vậy xác suất cần tìm là \displaystyle P(A) = \frac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = \frac{{180}}{{924}} = \frac{{15}}{{77}}.

Ví dụ 3. Có 7 sách Toán, 5 sách Lý và 6 sách Hóa. Chọn ngẫu nhiên 6 sách. Tính xác suất để số sách được chọn có không quá 5 sách Toán.

Lời giải.
Phép thử là chọn 6 sách trong tổng số 18 sách nên ta có |\Omega|=C_{18}^6=18564.

Gọi A là biến cố “số sách được chọn có không quá 5 sách Toán”.

Khi đó biến cố \overline{A} là “chọn được 6 sách đều là toán”, ta có |\Omega_A|=C_7^6=7.

Xác suất của biến cố \overline{A}P\left(\overline{A}\right)=\dfrac{|\Omega_A|}{|\Omega|}=\dfrac{7}{18564}=\dfrac{1}{2652}.

Vậy xác suất cần tìm là P(A)=1-P\left(\overline{A}\right)=1-\dfrac{1}{2652}=\dfrac{2651}{2652}.

Ví dụ 4. Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Tính xác suất để trong số bi lấy ra không đủ cả ba màu.

Lời giải.
Phép thử là chọn 4 bi bất kỳ trong tổng số 15 bi nên ta có |\Omega|=C_{15}^4=1365.

Gọi A là biến cố “chọn 4 bi không đủ cả ba màu”.

Khi đó biến cố \overline{A} là “chọn 4 bi đủ cả ba màu”.

Ta có \displaystyle \left| {{\Omega _{\overline{A}}}} \right| = C_4^2.C_5^1.C_6^1 + C_4^1.C_5^2.C_6^1 + C_4^1.C_5^1.C_6^2 = 720 .

Xác suất của biến cố \overline{A}P\left( {\overline A } \right) = \dfrac{{\left| {{\Omega _{\overline A }}} \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = \dfrac{{720}}{{1365}} = \dfrac{{48}}{{91}}.

Vậy xác suất để trong số bi lấy ra không đủ cả ba màu là \displaystyle P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - \frac{{48}}{{91}} = \frac{{43}}{{91}}.

Dạng 2. Tính xác suất bằng quy tắc tính

Phương pháp

• Xác định và tính xác suất của các biến cố sơ cấp cơ bản;

• Xác định biến cố cần tìm và biểu diễn nó theo các biến cố sơ cấp cơ bản;

• Sử dụng quy tắc cộng và nhân xác suất để tính xác suất.

Ví dụ 5. Ba xạ thủ cùng bắn độc lập vào bia, mỗi người bắn một viên đạn. Xác suất bắn trúng của từng xạ thủ lần ượt là 0,6; 0,7 và 0,8. Tính xác suất để có ít nhất một xạ thủ bắn trúng bia.

Lời giải.
Gọi A_i\ (i=\overline{1,3}) là biến cố “người thứ i bắn trúng bia”.

Ta có P(A_1)=0,6;P(A_2)=0,7;P(A_3)=0,8\Rightarrow P(\overline{A_1})=0,4;P(\overline{A_2})=0,3;P(\overline{A_3})=0,2.

Gọi A là biến cố “ít nhất một xạ thủ bắn trúng bia”, ta có \overline{A} “cả ba xạ thủ không bắn trúng bia”.

Khi đó \overline{A}=\overline{A_1}.\overline{A_2}.\overline{A_3}\Rightarrow P(\overline{A})=0,4\times 0,3\times 0,2=0,024.

Vậy xác suất cần tìm là P(A)=1-P(\overline{A})=1-0,024=0,976.

Dạng 3. Xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Phương pháp

• Xác định tập giá trị \{x_1,x_2,...,x_n\} của biến ngẫu nhiên X;

• Tính xác suất x_k=P(X=x_k);

• Lập bảng phân bố xác suất, từ đó tính các yếu tố theo yêu cầu bài toán.

Ví dụ 6. Có hai túi. Túi thứ nhất chứa 3 tấm thẻ đánh số 1, 2, 3 và túi thứ hai chứa 4 tấm thẻ đánh số 4, 5, 6, 8. Rút ngẫu nhiên từ mỗi túi một tấm thẻ rồi cộng hai số ghi trên hai tấm thẻ với nhau. Gọi X là số thu được. Lập bảng phân bố xác suất của X và tính E(X).

Lời giải
Ta có bảng phân bố xác suất : \begin{array}{| c | c | c | c | c | c | c | c |} \hline X&5&6&7&8&9&10&11\\ \hline P&\dfrac{1}{12}&\dfrac{2}{12}&\dfrac{3}{12}&\dfrac{2}{12}&\dfrac{2}{12}&\dfrac{1}{12}&\dfrac{1}{12}\\ \hline \end{array}

Kỳ vọng là E(X)=5\times \dfrac{1}{12}+6\times \dfrac{2}{12}+7\times \dfrac{3}{12}+8\times \dfrac{2}{12}+9\times \dfrac{2}{12}+10\times \dfrac{1}{12}+11\times \dfrac{1}{12}=7,75.

C. Bài Tập Tương Tự

1. (B-2013) Có hai chiếc hộp đựng bi. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng, hộp thứ hai chứa 2 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một viên bi, tính xác suất để hai viên bi được lấy ra có cùng màu.

2. Học sinh A thiết kế bảng điều khiển điện tử mở cửa phòng học của lớp mình. Bảng gồm 10 nút, mỗi nút được ghi một số từ 0 đến 9 và không có hai nút nào được ghi cùng một số. Để mở cửa cần nhấn liên tiếp 3 nút khác nhau sao cho 3 số trên 3 nút đó theo thứ tự đã nhấn tạo thành một dãy số tăng và có tổng bằng 10. Học sinh B không biết quy tắc mở cửa trên, đã nhấn ngẫu nhiên liên tiếp 3 nút khác nhau trên bảng điều khiển. Tính xác suất để B mở được cửa phòng học đó.

3. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 1;2;3;4;5;6. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn có tổng các chữ số là lẻ.

4. (B-2012) Trong một lớp học gồm có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng giải bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam và nữ.

5. Một tổ có 13 học sinh, trong đó có 4 nữ. Cần chia tổ thành ba nhóm, nhóm thứ nhất có 4 học sinh, nhóm thứ hai có 4 học sinh, nhóm thứ ba có 5 học sinh. Tính xác suất để mỗi nhóm có ít nhất một học sinh nữ.

6. Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất 3 lần. Tính xác suất sao cho mặt 6 chấm xuất hiện ít nhất một lần.

7. Người ta sử dụng 5 cuốn sách Toán, 6 cuốn sách Lý, 7 cuốn sách Hoá (các cuốn sách cùng loại giống nhau), để làm giải thưởng cho 9 học sinh, mỗi học sinh được hai cuốn sách khác loại. Trong số học sinh có hai bạn Ngọc và Thảo. Tìm xác suất để hai bạn Ngọc và Thảo có giải thưởng giống nhau.

8. Ba học sinh An, Bình và Chi cùng giải một bài toán độc lập với nhau. Xác suất giải được của An là 0,7; của Bình là 0,6; của Chi là 0,5. Tính xác suất để có ít nhất một học sinh không giải được bài toán.

9. Một bài thi trắc nghiệm có 50 câu hỏi. Mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời trong đó có 1 câu trả lời đúng. Một học sinh không học bài nên mỗi câu đều chọn ngẫu nhiên một phương án trả lời. Tính xác suất để học sinh đó được 5 điểm, biết cứ mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm còn mỗi câu trả lời sai không có điểm.

10. Xác suất bắn trúng vòng 10 của một xạ thủ là 0,3. Xạ thủ đó bắn trúng 5 lần. Gọi X là số lần bắn trúng vòng 10 của xạ thủ. Lập bảng phân bố xác suất; tính kỳ vọng và phương sai.

(Theo nmhieupdp.wordpress.com)