Lý thuyết giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số

Lý thuyết giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số

Tóm tắt kiến thức

1. Khái niệm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.

– Số m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số f trên D ⇔ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}f(x)\ge m,\forall x\in D\\\exists {{x}_{0}}\in D;f({{x}_{0}})=m\end{array} \right.

Kí hiệu : M = \displaystyle \underset{D}{\mathop{{\min }}}\,f(x)

– Số M là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số f trên D ⇔ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}f(x)\le M,\forall x\in D\\\exists {{x}_{0}}\in D;f({{x}_{0}})=M\end{array} \right.

Kí hiệu: M = \displaystyle \underset{D}{\mathop{{\max }}}\,f(x)

2. Hàm số liên tục trên một đoạn thì có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên đoạn đó

3. Quy tắc tìm GTNN, GTLN của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a ; b]

– Tìm các điểm \displaystyle {{x}_{i}} ∈ (a ; b)(i = 1, 2, . . . , n) mà tại đó f'(\displaystyle {{x}_{i}}) = 0 hoặc f'(\displaystyle {{x}_{i}}) không xác định.

– Tính f(a), f(b), f(\displaystyle {{x}_{i}}) (i = 1, 2, . . . , n) .

– Khi đó :

\displaystyle \underset{{[a;b]}}{\mathop{{\min }}}\,f(x)=\min \{f(a);f(b);f({{x}_{i}})\} \displaystyle \underset{{[a;b]}}{\mathop{{\max }}}\,f(x)=\max \{f(a);f(b);f({{x}_{i}})\}

4. Cách tìm GTNN và GTLN của hàm số y = f(x)

Để tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D, ta có thể khảo sát sự biến thiên của hàm số y= f(x) trên D, rồi căn cứ vào bảng biến thiên của hàm số mà kết luận về GTNN và GTLN của hàm số đó.

Toán cấp 3 © 2007 Toán cấp 3