Mẹo tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm phân thức

Tổng hợp lý thuyết đường tiệm cận hàm số và đưa ra các “mẹo” tìm đường tiệm cận giúp các em học sinh có lời giải đáp đúng cho phần môn Toán này.

Lý thuyết đường tiệm cận của hàm số

Lý thuyết đường tiệm cận của hàm số

Để có thể học tốt phần môn này thì các em học sinh cần nắm rõ kiến thức lý thuyết đường tiệm cận của hàm số

Cho đồ thị hàm số y=f(x) có tập xác định là D

Đường tiệm cận đứng: Nếu \lim \limits_{x \to a}{f(x)}=\infty => x=a là đường tiệm cận đứng

Đường tiệm cận ngang: Nếu \lim \limits_{x \to \infty}{f(x)}=b => y=b là đường tiệm cận ngang

Đường Tiệm cận xiên: Không có trong chương trình học Toán lớp 12 nên bỏ qua

Mẹo tìm đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Bài tập: Cho hàm số y=f(x) =\dfrac{u}{v} có tập xác định D

Bước 1: Để biết đồ thị hàm số có tồn tại đường tiệm cận đứng hay không thì trước tiên các bạn giải phương trình v=0 để tìm nghiệm. Giả sử x=x_0 là 1 nghiệm

Bước 2: Xét xem x=x_0 có là nghiệm của đa thức u trên tử hay không?

• Nếu x=x_0 không phải là nghiệm của đa thức u thì x=x_0 là 1 đường tiệm cận đứng.
• Nếu x=x_0 là nghiệm của đa thức u thì phân tích đa thức u thành nhân tử. Ta có \dfrac{u}{v}=\dfrac{(x-x_0)^m.h(x)}{(x-x_0)^n.g(x)}.
• Rút gọn nhân tử x-x_0, nếu sau rút gọn dưới mẫu vẫn còn nhân tử x-x_0 thì x=x_0 sẽ là 1 đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
• Nếu sau rút gọn nhân tử x-x_0 còn ở trên tử hoặc cả tử và mẫu đều hết thì x=x_0 không phải là đường tiệm cận đứng của đồ thị.

Mẹo tìm đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Bài tập: Cho hàm số y=f(x) =\dfrac{u}{v} có tập xác định D

Bước 1: Để tồn tại đường tiệm cận ngang thì trước tiên tập xác định của hàm số phải chứa -\infty hoặc +\infty. Cụ thể tập xác định phải là 1 trong các dạng sau:

• D=(-\infty;a) hoặc D=(b; +\infty;) hoặc D=(-\infty;+\infty)

Nếu tập xác định mà có 1 số dạng như sau thì khẳng định luôn là đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang: D=(a;b) hoặc D=[a;b] hoặc D=(a;b] hoặc D=[a;b). Tức là không chứa -\infty hoặc +\infty.

Bước 2: Khi đủ điều kiện xét đường tiệm cận ngang rồi thì thì các bạn xét tiếp tới bậc của u và v

• Nếu bậc của u > bậc của v thì đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang
• Nếu bậc của u < bậc của v thì đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang là y=0
• Nếu bậc của u = bậc của v thì đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là y=k=\dfrac{he-so -cua-hang-tu-co-bac-cao-nhat-cua-u}{he-so -cua-hang-tu-co-bac-cao-nhat-cua-v}

Một số bài tập trắc nghiệm tiệm cận của đồ thị hàm số

Một số bài tập trắc nghiệm tiệm cận của đồ thị hàm số

Ở các số bài trước các thầy cô có nếu ra chuyên đề cho từng phần môn học, hôm nay để các em học có thể nắm vững kiến thức và tìm ra được các đường tiệm cận trong đồ thị hàm số thì chúng tôi có đưa ra một số bài tập và hướng dẫn cách giải để các thí sinh làm bài thi trắc nghiệm phần môn này đạt điểm cao nhất.

Bài tập 1: Trong các hàm số sau đồ thị hàm số nào có tiệm cận ngang?

1. y=x^2+8x-2 B. y=x^4-2x^2=1
2. y=\dfrac{-2x+1}{x^2-2} D. y=\dfrac{2x^2+2}{x-3}

Hướng dẫn giải:

Ở ý (A) và (B) tập xác định đều là R nhưng lại là hàm đa thức => không có đường tiệm cận ngang.

Ở ý (D) tập xác định là D=R\\{3\} chứa \infty nhưng các bạn thấy bậc của tử là 2 lớn hơn bậc của mẫu là 1 => đồ thị không có đường tiệm cận ngang.

Ở ý (C) tập xác định là D=R\\{-\sqrt{2};\sqrt{2}\}. có chứa \infty. Xét thấy bậc của tử là 1 bé hơn bậc của mẫu là 2 => đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là y=0

Vậy đáp án đúng là (C)

Bài tập 2: Trong các hàm số sau đồ thị hàm số nào có đường tiệm cận đứng?

1. y=x^2+8x-2 B. y=\dfrac{x^2-2x-3}{x+1}
2. y=\dfrac{x-1}{x^2+1} D. y=\dfrac{x^2+2x+4}{x+2}

Hướng dẫn:

Ý (A) là hàm đa thức => không có đường tiệm cận đứng

Ý (B) ta thấy x=-1 là nghiệm của đa thức dưới mẫu. Nhiều bạn sẽ kết luận ngay ở bước này x=-1 là đường tiệm cận đứng. Như vậy là chưa chính xác. Cần xét xem nó có là nghiệm của đa thức trên tử hay không rồi mới đưa ra kết luận cuối cùng được?

Nhận thấy x=-1 cũng là nghiệm của đa thức trên tử. Phân tích như sau:

y=\dfrac{x^2-2x-3}{x+1}=\dfrac{(x+1)(x-3)}{x+1}=x-3

Đây là hàm đa thức nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

Ý (C) đa thức mẫu là x^2+1 không có nghiệm nên đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng.

Ý (D) thấy đa thức mẫu có nghiệm là x=-2. Đa thức trên tử không nhận x=-2 làm nghiệm vì x^2+2x+4>0 với mọi giá trị của x. Vậy x=-2 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đáp án đúng là (D)

Bài tập 3: Cho hàm số y=\dfrac{\sqrt{x^2-2x+6}}{x-1} và y=\dfrac{x^2-4x+3}{x^2-9}. Tổng số đường tiệm cận của 2 đồ thị hàm số là:

A. 3                               B. 4                                  C. 5                     D. 6

Hướng dẫn:

Xét hàm số y=\dfrac{\sqrt{x^2-2x+6}}{x-1}

Tập xác định: D=(-\infty;1) \cup (1;+\infty)

Đa thức x^2-2x+6>0 với mọi giá trị của x thuộc D

Đa thức dưới mẫu có nghiệm là x=1. Ta thấy x=1 không phải là nghiệm của đa thức trên tử => x=1 là 1 đường tiệm cận đứng.

Vì D=(-\infty;1) \cup (1;+\infty) nên đồ thị có thể sẽ có đường tiệm cận ngang.

Ta có: \sqrt{x^2-2x+6}=\sqrt{x^2(1-\dfrac{2}{x}+\dfrac{6}{x^2})}=|x|\sqrt{1-\dfrac{2}{x}+\dfrac{6}{x^2}}

Khi x \to +\infty  thì đường tiệm cận ngang là: y=\dfrac{|x|}{x}=\dfrac{x}{x} =1

Khi x \to -\infty  thì đường tiệm cận ngang là: y=\dfrac{|x|}{x}=\dfrac{-x}{x} =-1

Do đó đồ thị  hàm số có 2 đường tiệm cận ngang.

Vậy hàm số y=\dfrac{\sqrt{x^2-2x+6}}{x-1} có 3 đường tiệm cận.

Xét hàm số: y=\dfrac{x^2-4x+3}{x^2-9}

Tập xác định: D=R\\{-3;3\}

Ta có:y=\dfrac{x^2-4x+3}{x^2-9}=\dfrac{(x-1)(x-3)}{(x-3)(x+3)}=\dfrac{x-1}{x+3}

Từ phân tích trên ta thấy x=-3 là đường tiệm cận đứng và y=1 là đường tiệm cận ngang.

Vậy đồ thị hàm số y=\dfrac{x^2-4x+3}{x^2-9} có 2 đường tiệm cận.

Kết luận: Tổng số đường tiệm cận của 2 đồ thị hàm số trên là 5

Vậy đáp án đúng là: (C)

 Nguồn: toancap3.com