Lý thuyết đường tiệm cận

Tóm tắt lý thuyết về đường tiệm cận của đồ thị hàm số bất kì

1. Đường tiệm cận đứng

Đường thẳng (d): \(x={{x}_{0}}\) được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị (C) của hàm số y=f(x) nếu

\(\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty\) hoặc \(\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty\)

hoặc \(\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty\)

hoặc \(\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty\)

2. Đường tiệm cận ngang

Đường thẳng (d): \(y={{y}_{0}}\) được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị (C) của hàm số y=f(x) nếu

\(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)={{y}_{0}}\) hoặc \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)={{y}_{0}}\)

3. Đường tiệm cận xiên

Đường thẳng (d): \(y=ax+b(a\ne 0)\) được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị (C) của đồ thị hàm số y=f(x) nếu

\(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ f(x)-(ax+b) \right]=0\) hoặc \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ f(x)-(ax+b) \right]=0\)

Cách tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y=f(x)

Đường thẳng (d): \(y=ax+b(a\ne 0)\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y=f(x) khi và chỉ khi

\(a=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x};b=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ f(x)-ax \right]\)

hoặc \(a=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x};b=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ f(x)-ax \right]\)