Một số dạng Toán về mặt phẳng và đường thẳng

Các bài toán về đường thẳng và mặt phẳng xuất hiện khá nhiều trong đề thi tuyển sinh vào đại học cao đẳng môn Toán từ trước tới nay.

Và dưới đây là Phương pháp giải và ví dụ bài tập về 4 dạng toán về mặt phẳng và đường thẳng mà các em cần ghi nhớ.

Dạng 1: Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng \Delta

Phương pháp :

Xác định một điểm cố định M_0 (x_0 ;y_0 ;z_0 ) \in \Delta

Xác định một vectơ chỉ phương \overrightarrow a=(a_1;a_2;a_3) của \Delta.

Phương trình tham số và phương trình chính tắc của \Delta lần lượt có dạng

\Delta: \left\{ \begin{array}{l} x=x_0+a_1 t \\ y=y_0+a_2t \\ z=z_0+a_3t \end{array} \right.

 \Delta: \frac{{x - x_0 }}{{a_1 }}=\frac{{y - y_0 }}{{a_2 }}=\frac{{z - z_0 }}{{a_3 }} nếu a_1;a_2;a_3 đều \ne 0

Ví dụ : Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng \Delta đi qua hai điêm A(1;2;3 và B(4;5;6)

 

Lời giải:

\Delta đi qua hai điểm A(1;2;3 và B(4;5;6) nên có vectơ chỉ phương \overrightarrow {AB}=(3;3;3)

Vậy phương trình tham số của \Delta là: \left\{ \begin{array}{l} x=1+3t \\ y=2+3t \\ z=3+3t \end{array}\right.

Vậy phương trình chính tắc của \Delta là: \frac{x - 1}{3}=\frac{y - 2}{3}=\frac{z - 3}{3}

Dạng 2: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng \Delta và \Delta' trong không gian

Phương pháp :

Xác định điểm cố định M_0 (x_0 ;y_0 ;z_0 ) và vectơ chỉ phương \overrightarrow a=(a_1;a_2;a_3) của \Delta.Xác định điểm cố định M_0 (x'_0 ;y'_0 ;z'_0) và vectơ chỉ phương \overrightarrow a'=(a'_1;a'_2;a'_3) của \Delta'.

Tính \overrightarrow n=[\overrightarrow a ;\overrightarrow {a'}].

Dùng các dấu hiệu sau để xét vị trí tương đối giữa \Delta\Delta'.

\Delta //\Delta' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{n}=\overrightarrow{0} \\ M_{0}\notin \Delta' \end{array}\right.

\Delta \equiv \Delta' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{n}=\overrightarrow{0} \\ M_{0}\in \Delta' \end{array}\right.

\Delta cắt \Delta' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{n}\overrightarrow{M_0M_0'}=0 \\ \end{array}\right.

\Delta và  \Delta' chéo nhau \Leftrightarrow \overrightarrow n.\overrightarrow{M_0 M_0 '}\ne 0

Ví dụ: Xét vị trí tương đối của đường thẳng \Delta là: \frac{x - 1}{2}=\frac{y+2}{3}=\frac{z - 5}{1} với đường thẳng

d : \left\{\begin{array}{l} x=3+4t \\ y=2+3t \\ z=6+5t \end{array}\right.

Lời giải:

Ta có đường thẳng \Delta đi qua điểm M_0(1; - 2;5) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow a=(2;3;1)
d đi qua M(3;2;6) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow a=(4;3;5)

Ta có : \overrightarrow n=[\overrightarrow a ;\overrightarrow {a'}]=(12;-6;-6)\ne \overrightarrow 0.

\overrightarrow{M_0M}=(2;4;1)

\overrightarrow {n.} \overrightarrow{M_0 M}=24-24-6=-6

Vậy \Deltad chéo nhau.

Các em có thể lấy ví dụ về các trường hợp còn lại

Dạng 3:  Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Phương pháp :

Cho đường thẳng d đi qua điểm M_0(x_0 ;y_0 ;z_0 ) và vectơ chỉ phương \overrightarrow a=(a_1;a_2;a_3), cho mặt phẳng ( \alpha) có phương trình tổng quát Ax+By+Cz+D=0.

Gọi \overrightarrow n=(A;B;C) là VTPT của (\alpha) .

Để xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt phẳng (\alpha) ta có các cách sau:

Cách 1: Xét tích vô hướng \overrightarrow n.\overrightarrow a và thay tọa độ của điểm M_0 vào phương trình của ( \alpha) để kiểm tra , ta có các trường hợp sau:

  • \left\{\begin{array}{l} \overrightarrow{n}.\overrightarrow{a}=0 \\ M_{0}\notin (\alpha) \end{array}\right. \Leftrightarrow d song song với ( \alpha).
  • \left\{\begin{array}{l} \overrightarrow{n}.\overrightarrow{a}=0 \\ M_{0} \in (\alpha) \end{array}\right. \Leftrightarrow d nằm trong ( \alpha).
  • \overrightarrow n.\overrightarrow a\ne 0 d cắt (\alpha).
  • \overrightarrow n=k\overrightarrow a \Leftrightarrow d vuông góc với (\alpha).

Cách 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng d: \left\{ \begin{array}{l} x=x_0+a_1 t \\ y=y_0+a_2t \\ z=z_0+a_3t \end{array} \right.

Sau đó thay x,y,z ở  phương trình tham số trên vào phương trình tổng quát của mặt phẳng ( \alpha): Ax+By+Cz+D=0 ta được:

A(x_0+a_1 t)+B(y_0+a_2t)+C(z_0+a_3t)+D=0 hay mt+n=0 (1)

Xét số nghiệm t của phương trình (1) ta có các trường hợp sau.

  • (1) vô nghiệm \Leftrightarrow d song song với ( \alpha).
  • (1) có mộy nghiệm t=t_0 \Leftrightarrow d cắt ( \alpha) tại điểm M_0(x_0+a_1 t;y_0+a_2t;z_0+a_3t)
  • (1) có vô số nghiệm \Leftrightarrow d nằm trong ( \alpha).
  • (1) (A;B;C)=k(a_1;a_2;a_3) \Leftrightarrow d vuông góc với ( \alpha).

Ví dụ: Xét vị trí tương đối của đường thẳng \Delta là: \frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-5}{1} với mặt phẳng ( \alpha): x-y+2z+5=0

Lời giải:

Chuyển phương trình chính tắc của \Delta về phương trình tham số

\Delta : \left\{ \begin{array}{l} x=1+2t \\ y=-2+3t \\ x=5+t \end{array} \right.

Sau đó thay x,y,z ở  phương trình tham số trên vào phương trình tổng quát của mặt phẳng ( \alpha): 1+2t-(-2+3t)+2(5+t)+5=0  (1)

\Leftrightarrow t=-18

Phương trình (1) có một nghiệm t=-18, vậy \Delta cắt ( \alpha) tại điểm M_0(-35;-56;-13)

Dạng 4: Tìm hình chiếu

Bài toán 1: Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A trên đường thẳng (d).

Phương pháp:

Cách 1: (d) cho bởi phương trình tham số

  • H \in (d) suy ra dạng tọa độ của điểm H phụ thuộcvào tham số t
  • Tìm tham số t nhờ điều kiện \overrightarrow{AH}\bot\overrightarrow a_{d}

Cách 2: (d) cho bởi phương trình chính tắc , gọi H(x;y;z)

  • \overrightarrow{AH}\bot\overrightarrow a_{d} (*)
  • H \in (d): Biến đổi tỉ lệ thức này để dùng điều kiện (*), từ đó tìm được x;y;z

Bài toán 2: Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A trênặmt phẳng  ( \alpha).

Cách 1: Gọi H(x;y;z)

  • H \in (\alpha) (*)
  • \overrightarrow {AH} cùng phương với \overrightarrow {n_\alpha}: Biến đổi tỉ lệ thức này để dùng điều kiện (*) ,từ đó tìm được x;y;z.

Cách 2:

  • Tìm phương trình đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với mặt phẳng ( \alpha).
  • Giao điểm của (d)( \alpha) chính là hình chiếu H của A trên mặt phẳng ( \alpha).

Bài toán 3: Tìm hình chiếu vuông góc (\Delta) của đường thẳng (d) xuống mặt phẳng ( \alpha).

  • Tìm phương trình mặt phẳng (\beta) chứa đường thẳng d và vuông óc với mặt phẳng ( \alpha).
  • Hình chiếu (\Delta) của (d) xuống mặt phẳng ( \alpha) chính là giao tuyến của ( \alpha)(\beta).