Tích phân của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

Toán cấp 3 giới thiệu với em phương pháp tính tích phân của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối. Từ cách tính này các em dựa vào đó để làm những bài tương tự.

Cùng xét bài toán dưới đây.

BÀI TOÁN: Tính tích phân \(\displaystyle I = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx}\) .

PHƯƠNG PHÁP.

  • Cho \(f(x)=0\) \(\Rightarrow x=x_i\) (chỉ lấy những \(x_i\) ∈ (a;b)).
  • Khi đó \(\displaystyle I = \int\limits_a^{{x_i}} {\left| {f(x)} \right|dx} + \int\limits_{{x_i}}^b {\left| {f(x)} \right|dx}\) .
  • Xét dấu f(x) trên các khoảng \(\displaystyle(a;x_i)\) và \((x_i;b)\) để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Ví dụ 1. Tính tích phân: \(\displaystyle I = \int\limits_{ – 2}^2 {\left| {x – 1} \right|dx}\) .

Phân tích:
Cho x-1 = 0 ta có \(x=1\in (-2;2)\), do đó \(\displaystyle I = \int\limits_{ – 2}^1 {\left| {x – 1} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {x – 1} \right|dx} =I_1+I_2\)

Đối với \(I_1\), chọn \(x=0\Rightarrow f(0)=-1 < 0 \Rightarrow f(x) < 0\)  trên (-2;1) nên \(\displaystyle I_1= \int\limits_{ – 2}^1 {\left( {1 – x} \right)dx}\).

Đối với \(I_2\), chọn \(x=\dfrac{3}{2}\Rightarrow f\left(\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{1}{2}>0 \Rightarrow f(x)>0\) trên (-2;1) nên \(\displaystyle I_2= \int\limits_1^2 {\left( {x – 1} \right)dx}\).

Do đó \(\displaystyle I=I_1+I_2=\int\limits_{ – 2}^1 {\left( {1 – x} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {x – 1} \right)dx}\).

Lời giải.

\(\displaystyle I = \int\limits_{ – 2}^1 {\left| {x – 1} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {x – 1} \right|dx} = \int\limits_{ – 2}^1 {\left( {1 – x} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {x – 1} \right)dx}\)

\(\displaystyle = \left. {\left( {x – \frac{1}{2}{x^2}} \right)} \right|_{ – 2}^1 + \left. {\left( {\frac{1}{2}{x^2} – x} \right)} \right|_1^2 = \frac{9}{2} + \frac{1}{2} = 5\).

Nhận xét. Để xét dấu f(x) trên khoảng (α ; β) ta chọn c ∈ (α ; β) và tính f(c). Khi đó dấu f(c) là dấu f(x) trên (α ; β).

Ví dụ 2:(D-2003) Tính tích phân: \(\displaystyle I = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} – x} \right| dx}\) .

Lời giải.

\(\displaystyle I = \int\limits_0^1 {\left| {{x^2} – x} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {{x^2} – x} \right|dx}

= [latex]\int\limits_0^1 {\left( {x – {x^2}} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} – x} \right)dx}\)

\(\displaystyle = \left. {\left( {\frac{1}{2}x – \frac{1}{3}{x^3}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{1}{3}{x^3} – \frac{1}{2}x} \right)} \right|_1^2 = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} = 1\).

Ví dụ 3: Tính tích phân: \(\displaystyle I = \int\limits_{ – 2}^2 {\left| {2x – \left| {x + 1} \right|} \right|dx}\) .

Lời giải.

\(\displaystyle I = \int\limits_{ – 2}^{ – 1} {\left| {2x + x + 1} \right|dx} + \int\limits_{ – 1}^2 {\left| {2x – x – 1} \right|dx}\)

= \(\int\limits_{ – 2}^{ – 1} {\left| {3x + 1} \right|dx} + \int\limits_{ – 1}^1 {\left| {x – 1} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {x – 1} \right|dx}\)

= \(\displaystyle \int\limits_{ – 2}^{ – 1} {\left( { – 3x – 1} \right)dx} + \int\limits_{ – 1}^1 {\left( {1 – x} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {x – 1} \right)dx}\)

= \(\displaystyle \left. {\left( { – \frac{{3{x^2}}}{2} – x} \right)} \right|_{ – 2}^{ – 1} + \left. {\left( {x – \frac{1}{2}{x^2}} \right)} \right|_{ – 1}^1 + \left. {\left( {\frac{1}{2}{x^2} – x} \right)} \right|_1^2\)

= \(\displaystyle \dfrac{7}{2} + 2 + \dfrac{1}{2} = 6\).

Ví dụ 4: Tính tích phân: \(\displaystyle I = \int\limits_0^{2\pi } {\sqrt {1 – \cos 2x} dx}\) .

Lời giải.

\(\displaystyle I = \sqrt 2 \int\limits_0^{2\pi } {\left| {\sin x} \right|dx}

= [latex]\displaystyle\sqrt 2 \int\limits_0^\pi {\left| {\sin x} \right|dx} + \sqrt 2 \int\limits_\pi ^{2\pi } {\left| {\sin x} \right|dx}\)

= \(\displaystyle\sqrt 2 \int\limits_0^\pi {\sin xdx} – \sqrt 2 \int\limits_\pi ^{2\pi } {\sin xdx}\)

= \(\displaystyle \left. { – \sqrt 2 \cos x} \right|_0^\pi + \left. {\sqrt 2 \cos x} \right|_\pi ^{2\pi }\)

= \(\displaystyle\sqrt 2 + \sqrt 2 + \sqrt 2 + \sqrt 2 = 4\sqrt 2\) .

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1. Tính tích phân: \(\displaystyle I = \int\limits_0^4 {\left| {3 – x} \right|dx}\)

2. Tính tích phân: \(\displaystyle I = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} – 3x + 2} \right|dx}\) .

3. Tính tích phân: \(\displaystyle I = \int\limits_{ – 2}^3 {\left( {\left| {x + 1} \right| + \left| {x – 2} \right|} \right)dx}\).

4. Tính tích phân: \(\displaystyle I = \int\limits_0^3 {\left| {\sqrt {{x^2} – 4x + 4} – 1} \right|dx}\) .

5. Tính tích phân: \(\displaystyle I = \int\limits_0^{2\pi } {\sqrt {1 + \sin x} dx}\) .

6. Tính tích phân: \(\displaystyle I=\int\limits_{0}^{3}{\left| \frac{{{x}^{2}}-3x+2}{x+1} \right|dx}\).