Ứng dụng tính chất của hàm số để giải phương trình

Các em có thể ứng dụng các tính chất của hàm số để giải phương trình. Rõ hơn là phương pháp sử dụng tính chất tăng giảm của hàm số để giải PT.

Nhớ lại kiến thức:

Tính chất của hàm số được dùng trong bài toán như  sau : Nếu hàm số y=f(x) luôn tăng (hoặc luôn giảm ) thì đồ thị của hàm số cắt đường thẳng y=C nhiều nhất là một điểm ( Nếu hàm sốy=f(x)  đơn điệu thay đổi , thì lý luân trên không còn hiệu lực nữa).

Phương pháp chung:

Để giải phương trình: F(x)=G(x) bằng cách vận dụng tính chất trên, ta tiến hành như sau

Biến đổi tương đương phương trình về dạng: f(x)=C ( C là hằng số)

Xét tính đơn điệu của hàm sốf

Nếu : Hàm số f luôn tăng (hoặc luôn giảm) thì kết luận phương trình có nhiều nhất 1 nghiệm, kế đó bạn chịu khó dò tìm được nghiệm của phương trình để kết luận về nghiệm của bài toán

Nếu : Hàm số có tính đơn điệu thay đổi, thì cách lý luận trên không còn hiệu lực, bạn chịu khó đổi qua cách lý luận khác

Tiến hành thực hành áp dụng tính chất của hàm số để giải phương trình:

Bài toán 1: Giải phương trình: 3^x+4^x=5^x

Hướng dẫn:

Do 5^x>0 \forall{x} nên chia hai vế của phương trình cho 5^x ta được phương trình tương đương :

\left({\frac{3}{5}}\right)^x+\left({\frac{4}{5}} \right)^x=1

Xét hàm số : f(x)=\left({\frac{3}{5}}\right)^x+\left({\frac{4}{5}} \right)^x

Ta có hàm số y=f(x) là hàm số giảm , do vậy phương trình f(x)=1 có nhiều nhất là một nghiệm

Mặt khác ta có : f(2)=1 suy ra x=2 là một nghiệm của phương trìnhf(x)=1

Từ kết quả trên ta kết luận phương trình có nghiệm x=2

Bài tập luyện tập

Giải các phương trình sau:

a) 3^{\frac{x}{2}}+1=2^x

b) 5^x+4^x+2(\sqrt {20} )^x=9^x