Tất tần tật về bất đẳng thức Cosi

Bất đẳng thức Cosi là một bất đẳng thức đáng nhớ được sử dụng nhiều nhất trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức ở trung học phổ thông.

Từ khi mới học Toán từ bậc tiểu học các em học sinh đã được làm quen với các định nghĩa trung bình cộng, trung bình nhân của 2 số dương, được học về các số a > b, x > a (a là hằng số cho trước) mà lúc đó chưa biết được rằng mình cũng đã được tiếp xúc với bất đẳng thức.

Lên cấp 2 (bậc trung học cơ sở) thì các em đã được các thầy cô dạy về như thế nào là bất đẳng thức và bất đẳng thức các em được học đầu tiên đó là bất đẳng thức Cosi hay còn có tên gọi là bất đẳng thức Cauchy.

Khi bắt đầu học các em được học bất đẳng thức Cosi là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của 2 số thực a, b không âm: [latex]\displaystyle \frac{{a+b}}{2}\ge \sqrt{{ab}}[/latex]

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b

rồi với 3 số thực a, b, c không âm: [latex]\displaystyle \frac{{a+b+c}}{3}\ge \sqrt[3]{{abc}}[/latex]

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

rồi với 4 số thực a, b, c, d không âm: [latex]\displaystyle \frac{{a+b+c+d}}{4}\ge \sqrt[4]{{abcd}}[/latex]

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d

Với n số thức không âm [latex]\displaystyle {{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},…{{x}_{n}}[/latex]: [latex]\displaystyle \frac{{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+…+{{x}_{n}}}}{n}\ge \sqrt[n]{{{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}…{{x}_{n}}}}[/latex]

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi [latex]\displaystyle {{x}_{1}}={{x}_{2}}={{x}_{3}}=…={{x}_{n}}[/latex]

1. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số thực a, b không âm

Ta thấy với a = 0 hoặc b = 0 thì ta thấy bất đẳng thức luôn đúng. Vì vậy chúng ta chỉ chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số dương mà thôi:

[latex]\displaystyle \frac{{a+b}}{2}\ge \sqrt{{ab}}[/latex]

<=> [latex]\displaystyle a+b\ge 2\sqrt{{ab}}[/latex]

<=> [latex]\displaystyle a-2\sqrt{{ab}}+b\ge 0[/latex]

<=> [latex]\displaystyle (\sqrt{a}-\sqrt{b})_{{}}^{2}\ge 0[/latex] ( vì a, b >0) luôn đúng

=> Bất đẳng thức đã cho luôn đúng với ∀ a, b dương (đpcm)

2. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 3 số thực a, b, c không âm

với a = 0 hoặc b = 0 hoặc c= 0 thì bất đẳng thức luôn đúng. Vì thế chúng ta cũng chỉ chứng minh bất đẳng thức Cosi với 3 số dương mà thôi:

3. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 4 số thực a, b, c, d không âm

với a = 0 hoặc b = 0 hoặc c= 0 hoặc d = 0 thì bất đẳng thức luôn đúng. Vì thế chúng ta cũng chỉ chứng minh bất đẳng thức Cosi với 4 số dương mà thôi:

4. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với n số thực không âm

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với n số dương

5. Ví dụ sử dụng bất đẳng thức Cosi để chứng minh bất đẳng thức

Các em theo dõi các ví dụ dưới đây: