Chuyên đề các bất đẳng thức của hàm số cosin với hằng số

Bất đẳng thức lượng giác là một chuyên đề khó với rất nhiều học sinh phổ thông. Ở bài này chúng ta cùng học bất đẳng thức của hàm số cosin với hằng số.

PHẦN I: MỞ ĐẦU

Các bài toán về bất đẳng thức khá phong phú và đa dạng, đặc biệt là các bất đẳng thức về góc trong tam giác. Chuyên đề nhỏ này với mục đích là giải quyết một phần nhỏ lớp các bài toán về bất đẳng thức của hàm số côsin và hằng số trong tam giác.

PHẦN II: NỘI DUNG

1. Bài toán cơ bản:

Cho x,y \in \left[ {0;\pi } \right] . Chứng minh rằng cosx + \cos y \le 2cos\frac{{x + y}}{2}

Chứng minh:

Thật vậy, ta có:

Vì x,y \in \left[ {0;\pi } \right] nên0 \le \frac{{x - y}}{2} \le \frac{\pi }{2}

Suy ra: 0 \le cos\frac{{x - y}}{2} \le 1

Vậy: cosx + \cos y=2cos\frac{{x + y}}{2}cos\frac{{x - y}}{2} \le 2cos\frac{{x + y}}{2}

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi cos\frac{{x - y}}{2}=1 \Leftrightarrow x=y.

Nhận xét: Trong trường hợp tổng quát, ta có:

Cho {x_i} \in \left[ {0;\pi } \right] ;i=\overline {1;n}

Khi đó : cos{x_1} + cos{x_2} + .... + cos{x_n} \le n\cos \frac{{{x_1} + {x_2} + ... + {x_n}}}{n}

Với n=3 , ta có: cosx + \cos y + \cos z \le 3cos\frac{{x + y + z}}{3} với x,y,z \in \left[ {0;\pi } \right] (*)

Bất đẳng thức (*) được áp dụng trong tam giác \Delta ABC với ba góc A,B,C \in \left( {0;\pi } \right)

2. Kết quả trực tiếp

Vận dụng (*) và cách chọn các góc thích hợp trong tam giác \Delta ABC thì chúng ta thu được nhiều bất đẳng thức quên thuộc giữa hàm số côsin và hằng số.

Bổ đề :

a)cos\frac{\pi}{{12}}=\frac{{\sqrt 6 + \sqrt2 }}{4}

b)cos\frac{\pi }{{10}}=\frac{{\sqrt {10 + 2\sqrt 5 } }}{4}

c)cos\frac{\pi }{8}=\frac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}{2}

d)cos\frac{\pi }{{16}}=\frac{{\sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt 2 } } }}{2}

Ví dụ 1: Cho tam giác \Delta ABC. Chứng minh rằng:

a)\cos A + \cos B + \cos C \le \frac{3}{2}

b)\cos \frac{A}{2} + \cos \frac{B}{2} + \cos \frac{C}{2} \le \frac{{3\sqrt 3 }}{2}

c)\cos\frac{A}{4}+\cos\frac{B}{4}+\cos\frac{C}{4} \le 3\frac{{\sqrt6+\sqrt2}}{4}

d)\cos \frac{{3A}}{{10}} + \cos \frac{{3B}}{{10}} + \cos \frac{{3C}}{{10}} \le 3\frac{{\sqrt {10 + 2\sqrt 5 } }}{4}

e)\cos \frac{{3A}}{{16}} + \cos \frac{{3B}}{{16}} + \cos \frac{{3C}}{{16}} \le 3\frac{{\sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt 2 } } }}{2}

3. Kết quả gián tiếp

Vận dụng (*) và phối hợp với các bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có nhiều bất đẳng thức quan trọng.

Ví dụ 2: Cho tam giác \Delta ABC không tù, chứng minh rằng:

\sqrt {\cos A}  + \sqrt {\cos B}  + \sqrt {\cos C} \le \frac{3}{{\sqrt 2 }} (1)

Chứng minh: Vì tam giác \Delta ABC không tù nên \cos A \ge 0;\cos B \ge 0;\cos C \ge 0

Do đó, ta có:

\sqrt {\cos A}=\sqrt 2.\sqrt {\frac{1}{2}.\cos A} \le \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left({\frac{1}{2}+\cos A}\right)=\frac{{\sqrt 2}}{4}+\frac{{\sqrt 2}}{2}\cos A

\sqrt {\cos B}=\sqrt 2.\sqrt {\frac{1}{2}.\cos B} \le \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left({\frac{1}{2}+\cos B}\right)=\frac{{\sqrt 2}}{4}+\frac{{\sqrt 2}}{2}\cos B

\sqrt {\cos C}=\sqrt 2.\sqrt {\frac{1}{2}.\cos C} \le \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left({\frac{1}{2}+\cos C}\right)=\frac{{\sqrt 2}}{4}+\frac{{\sqrt 2}}{2}\cos C

Vậy:

\sqrt {\cos A}+ \sqrt {\cos B} + \sqrt {\cos C} \le \frac{{3\sqrt 2 }}{4} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\cos A + \cos B + \cos C} \right)

\Rightarrow \sqrt {\cos A} + \sqrt {\cos B} + \sqrt {\cos C} \le \frac{3}{{\sqrt 2 }} (đpcm)

Nhận xét:

a) Có thể sử dụng BĐT Bunhiacopxki để chứng minh (1).

b) Trong trường hợp tổng quát, ta có:

\sqrt[n]{{\cos A}} + \sqrt[n]{{\cos B}} + \sqrt[n]{{\cos C}} \le \frac{3}{{\sqrt[n]{2}}}

với tam giác \Delta ABC không tù \left( {n \in ,n \ge 2} \right).

( Còn nữa )

 (Nguồn bài viết: nguyenanhtuan2011.wordpress.com)