Phương pháp hệ số bất định trong chứng minh bất đẳng thức

Có bao nhiêu điều bí ẩn mà bạn chưa biết đến ?! Câu trả lời là rất rất nhiều và đôi khi bạn cảm thấy bực bội, khó chịu khi không thể tìm ra một lời giải thích thỏa đáng cho bí ẩn nào đó. Nhưng bạn hãy quan niệm rằng đằng sau bất kì một điều gì luôn hàm chứa một ý nghĩa nhất định. Và cũng không phải ngẫu nhiên mà sự lí giải lại được hình thành. Trong thế giới bất đẳng thức cũng vậy. Đôi khi bạn không thể hiểu được tại sao người ta lại có thể tìm ra một lời giải trông có vẻ “kì cục” như thế !!! Phải chăng là lần mò và  may rủi lắm mới tìm ra được ?

Câu trả lời lại một lần nữa được nhắc lại là mỗi lời giải đều có sự giải thích của riêng bản thân nó. Việc tìm ra lời giải đó phải đi qua một quá trình lập luận, thử, sai và đúng. Trong bài viết nho nhỏ này chúng tôi muốn giới thiệu đến các bạn một kĩ thuật cơ bản nhưng không kém phần hiệu quả trong việc chứng minh một số dạng của bất đẳng thức. Nó không giúp ta giải quyết tất cả các bài toán mà chỉ giúp ta tìm ra những lời giải ngắn gọn và ấn tượng trong một lớp bài toán nào đó. Một số bài toán tuy dễ đối với phương pháp này nhưng lại là khó đối với kỹ thuật kia. Đây cũng là điều hiển nhiên và dễ hiểu.

1. Ví dụ mở đầu

Bài toán 1. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng

\(\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}+\frac{\text{2}\left( {{a}^{\text{2}}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}{3}\ge 5\)

Lời giải

Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành

\(\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{3}+\frac{2{{b}^{2}}}{3}+\frac{2{{c}^{2}}}{3}\ge 5\)

Ta chứng minh bất đẳng thức sau đây

\(\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{3}\ge \frac{7}{3}-\frac{2a}{3}\)

Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với

\(\displaystyle \frac{{{\left( a-1 \right)}^{2}}\left( 2{{a}^{2}}+6a+3 \right)}{3{{a}^{2}}}\ge 0\)

Hiển nhiên đúng với a là số thực dương.

Áp dụng tương tự ta được \(\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{2{{b}^{2}}}{3}\ge \frac{7}{3}-\frac{2b}{3};\,\,\frac{1}{{{c}^{2}}}+\frac{2{{c}^{2}}}{3}\ge \frac{7}{3}-\frac{2c}{3}\)

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

\(\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{3}+\frac{2{{b}^{2}}}{3}+\frac{2{{c}^{2}}}{3}\ge 7-\frac{2\left( a+b+c \right)}{3}=5\)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\).

Chúng ta sẽ khởi đầu kỹ thuật này bằng việc đưa ra cách giải thích cho việc tìm ra bất đẳng thức phụ trên và nó cũng chính là cách giải thích cho các bài toán sau này của chúng ta.

Bài toán trên các biến trong cả hai vế và điều kiện đều không ràng buộc nhau điều này khiến ta nghĩ ngay sẽ tách theo từng biến để chứng minh được đơn giản hơn nếu có thể. Nhưng rõ ràng chỉ từng đó thôi là không đủ. Để ý đến dấu đẳng thức xẩy ra nên ta nghĩ đến chứng minh bất đẳng thức sau

\(\displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{3}\ge \frac{5}{3}\Leftrightarrow \frac{\left( a-1 \right)\left( a+1 \right)\left( 2{{a}^{2}}-3 \right)}{3{{a}^{2}}}\ge 0\)

Tuy nhiên đánh giá trên không hoàn toàn đúng với a thực dương.

Để ý là với cách làm trên ta chưa sử dụng điều kiện .

Như vậy ta sẽ không đi theo đường lối suy nghĩ đơn giản ban đầu nữa mà sẽ đi tìm hệ số để bất đẳng thức sau là đúng

\(\displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{3}\ge \frac{5}{3}+ma+n\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Trong đó m và n là các hệ số chưa xác định.

Thiết lập tương tự với các biến b và c ta được

\(\displaystyle \frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{2{{b}^{2}}}{3}\ge \frac{5}{3}+mb+n;\,\,\frac{1}{{{c}^{2}}}+\frac{2{{c}^{2}}}{3}\ge \frac{5}{3}+mc+n\)

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta có

\(\displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}+2{{c}^{2}}}{3}\ge 5+m\left( a+b+c \right)+3n=5+3\left( m+n \right)\)

Như vậy ở đây 2 hệ số m và n phải thỏa mãn điều kiện \(\displaystyle m+n=0\Leftrightarrow n=-m\). Thế vào (1) dẫn đến

\(\displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{3}\ge \frac{5}{3}+m\left( a-1 \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Đến đây ta chỉ cần xác định hệ số duy nhất là m để bất đẳng thức (2) là đúng. Chú ý đẳng thức xẩy ra tại \(a=b=c=1\) nên ta cần xác định m sao cho

\(\displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{3}\ge \frac{5}{3}+m\left( a-1 \right)\Leftrightarrow \left( a-1 \right)\left( \frac{\left( a+1 \right)\left( 2{{a}^{2}}-3 \right)}{3{{a}^{2}}}-m \right)\ge 0\)

Khi cho \(a=1\) thì ta có \(\displaystyle \frac{\left( a+1 \right)\left( 2{{a}^{2}}-3 \right)}{3{{a}^{2}}}=-\frac{2}{3}\) từ đó ta dự đoán rằng \(\displaystyle m=-\frac{2}{3}\) để tạo thành đại lượng bình phương \({{\left( a-1 \right)}^{2}}\) trong biểu thức. Từ đó ta sẽ chứng minh bất đẳng thức phụ

\(\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{3}\ge \frac{7}{3}-\frac{2a}{3}\)

Bài toán 2. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng:

\(\frac{5{{a}^{3}}-{{b}^{3}}}{ab+3{{a}^{2}}}+\frac{5{{b}^{3}}-{{c}^{3}}}{bc+3{{b}^{2}}}+\frac{5{{c}^{3}}-{{a}^{3}}}{ca+3{{c}^{2}}}\le 3\)

Ta đi chứng minh bất đẳng thức \(\frac{5{{a}^{3}}-{{b}^{3}}}{ab+3{{a}^{2}}}\le 2a-b\)

Thật vậy, dễ dàng chứng minh được \({{a}^{3}}+{{b}^{3}}\ge ab\left( a+b \right)\), ta biến đổi tương đương bất đẳng thức bên như sau

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{{a}^{3}}+{{b}^{3}}\ge ab\left( a+b \right)\Leftrightarrow 5{{a}^{3}}-{{b}^{3}}\le 6{{a}^{3}}-ab\left( a+b \right)\\\Leftrightarrow 5{{a}^{3}}-{{b}^{3}}\le a\left( 6{{a}^{2}}-ab-{{b}^{2}} \right)\Leftrightarrow 5{{a}^{3}}-{{b}^{3}}\le a\left( 2a-b \right)\left( 3a+b \right)\\\Leftrightarrow \frac{5{{a}^{3}}-{{b}^{3}}}{ab+3{{a}^{2}}}\le 2a-b\end{array}\)

Hoàn toàn tương tự ta được \(\frac{5{{b}^{3}}-{{c}^{3}}}{bc+3{{b}^{2}}}\le 2b-c;\,\,\frac{5{{c}^{3}}-{{a}^{3}}}{ca+3{{c}^{2}}}\le 2c-a\)

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được \(\frac{5{{a}^{3}}-{{b}^{3}}}{ab+3{{a}^{2}}}+\frac{5{{b}^{3}}-{{c}^{3}}}{bc+3{{b}^{2}}}+\frac{5{{c}^{3}}-{{a}^{3}}}{ca+3{{c}^{2}}}\le a+b+c=3\)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi \(a=b=c=1\).

Nhận xét: Hoàn toàn tương tự như bài toán trên, ta đi tìm hệ số m, n sao cho bất đẳng thức \(\frac{5{{a}^{3}}-{{b}^{3}}}{ab+3{{a}^{2}}}\le ma+nb\) đúng, với \(m+n=1\Leftrightarrow n=1-m\).

Ta viết lại bất đẳng thức trên thành

\(\frac{\frac{5{{a}^{3}}}{{{b}^{3}}}-1}{\frac{a}{b}+\frac{3{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}}}\le \frac{ma}{b}+1-m\Leftrightarrow \frac{5{{t}^{3}}-1}{t+3{{t}^{2}}}\le m\left( t-1 \right)+1\) với \(t=\frac{a}{b}\)

Để ý đến đẳng thức xẩy ra tại \(a=b=c\) tức là xẩy ra tại \(t=1\), khi đó ta cần xác định m sao cho

\(\frac{5{{t}^{3}}-1}{t+3{{t}^{2}}}\le m\left( t-1 \right)+1\Leftrightarrow \left( t-1 \right)\left( \frac{5{{t}^{2}}+2t+1}{t+3{{t}^{2}}}-m \right)\le 0\)

Cho \(t=1\) thì ta được \(\frac{5{{t}^{2}}+2t+1}{t+3{{t}^{2}}}=2\) nên ta chọn \(m=2\) và từ đó ta được \(n=-1\). Khi này ta đi chứng minh bất đẳng thức \(\frac{5{{a}^{3}}-{{b}^{3}}}{ab+3{{a}^{2}}}\le 2a-b\).

          Chắc chắn ngay khi đọc lời giải cho các bài toán này bạn có phần lúng túng và không hiểu tại sao lại có thể tìm ra bất đẳng thức phụ một cách “khó hiểu” như vậy. Phải chăng đó là dự đoán một cách may mắn. Hoặc cũng có người sẽ nghĩ bài toán trên được tạo ra từ chính bất đẳng thức phụ đó. Câu trả lời là hoàn toàn không phải. Tất cả đều đi theo một qui luật của nó. Ở các phần tiếp theo chúng tôi sẽ phân tích về một kỹ thuật phân tích giúp tìm ra các bất đẳng thức phụ và mở rộng vấn đề này theo chiều hướng khá mới mẻ. Kỹ thuật này có tên là U.C.T, là viết tắt của 3 chữ cái đầu của cụm từ tiếng Anh Undefined Coefficient Technique hay còn gọi là kỹ thuật hệ số bất định. Đây là một kỹ thuật cơ bản và là nền tảng quan trọng trên con đường tìm kiếm lời giải cho những bất đẳng thức khó.

2. Một số bài toán áp dụng phương pháp hệ số bất định

             Có thể nói với phương pháp hệ số bất định ta có thể giải quyết được một lớp các bất đẳng thức mà ở đó các biến độc lập với nhau. Dưới đây là một số bài toán áp dụng phương pháp hệ số bất định.

Bài toán 1. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng

\(\displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}+b+c}+\frac{1}{{{b}^{2}}+c+a}+\frac{1}{{{c}^{2}}+a+b}\le 1\)

Lời giải

Ở đây ta cần tìm m để bất đẳng thức dưới là đúng

\(\displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}+b+c}=\frac{1}{{{a}^{2}}-a+3}\le \frac{1}{3}+m\left( a-1 \right)\Leftrightarrow -\frac{a\left( a-1 \right)}{3\left( {{a}^{2}}-a+3 \right)}\le m\left( a-1 \right)\)

Tương tự như trên ta dự đoán rằng với \(\displaystyle m=-\frac{1}{9}\) thì bất đẳng thức phụ đúng. Thật vậy

\(\displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}-a+3}\le \frac{4}{9}-\frac{a}{9}\Leftrightarrow 0\le \frac{{{\left( a-1 \right)}^{2}}\left( 3-a \right)}{3\left( {{a}^{2}}-a+3 \right)}\Leftrightarrow 0\le \frac{{{\left( a-1 \right)}^{2}}\left( b+c \right)}{3\left( {{a}^{2}}-a+3 \right)}\)

Hoàn toàn tương tự ta được

\(\displaystyle \frac{1}{{{b}^{2}}-b+3}\le \frac{4}{9}-\frac{b}{9};\,\,\frac{1}{{{c}^{2}}-c+3}\le \frac{4}{9}-\frac{c}{9}\)

Cộng theo về các bất đẳng thức trên ta được

\(\displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}+b+c}+\frac{1}{{{b}^{2}}+c+a}+\frac{1}{{{c}^{2}}+a+b}\le \frac{4}{3}-\frac{a+b+c}{9}=1\)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại \(a=b=c=1\).

Bài toán 2. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn \(\displaystyle {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=3\). Chứng minh rằng

\(\displaystyle 4\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)+5\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\ge 27\)

Lời giải

Ta cần tìm hệ số m sao cho

\(\displaystyle \frac{4}{a}+5{{a}^{2}}\ge 9+m\left( {{a}^{3}}-1 \right)\Leftrightarrow \frac{\left( a-1 \right)\left( 5{{a}^{2}}+5a-4 \right)}{a}\ge m\left( a-1 \right)\left( {{a}^{2}}+a+1 \right)\)

Ta dễ dàng nhận ra đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\displaystyle a=b=c=1\).

Khi cho \(\displaystyle a=1\) thì ta có thể dự đoán rằng \(\displaystyle m=2\). Ta sẽ chứng minh rằng với \(\displaystyle m=2\) thì bất đẳng thức phụ trên là đúng. Thật vậy

\(\displaystyle \frac{4}{a}+5{{a}^{2}}\ge 7+2{{a}^{3}}\Leftrightarrow \frac{{{\left( a-1 \right)}^{2}}\left( -2{{a}^{2}}+a+4 \right)}{a}\ge 0\)

Do \(\displaystyle a\le \sqrt[3]{3}\Rightarrow -2{{a}^{2}}+a+4\ge 0\). Vậy bất đẳng thức phụ trên là đúng.

Hoàn toàn tương tự ta được

\(\displaystyle \frac{4}{b}+5{{b}^{2}}\ge 7+2{{b}^{3}};\,\,\frac{4}{c}+5{{c}^{2}}\ge 7+2{{c}^{3}}\)

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

\(\displaystyle 4\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)+5\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\ge 21+2\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}} \right)=27\)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\displaystyle a=b=c=1\)

Bài toán 3. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn \(\displaystyle {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=3\). Chứng minh rằng

\(\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{4\left( a+b+c \right)}{3}\ge 7\)

Lời giải

Ta cần tìm hệ số m sao cho

\(\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{4a}{3}\ge m\left( {{a}^{2}}-1 \right)+\frac{7}{3}\Leftrightarrow 3m{{a}^{3}}-4{{a}^{2}}+\left( 7-3m \right)a-3\le 0\)

Dự đoán là đẳng thức xẩy ra tại \(\displaystyle a=b=c=1\), khi đó ta tìm được \(\displaystyle m=\frac{1}{6}\). Như vậy ta đi chứng minh bất đẳng thức

\(\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{4a}{3}\ge \frac{1}{6}\left( {{a}^{2}}-1 \right)+\frac{7}{3}\Leftrightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}\left( 6-a \right)\ge 0\)

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng vì từ \(\displaystyle {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=3\) ta được \(\displaystyle 0<a,\,\,b,\,\,c<\sqrt{3}\).

Hoàn toàn tương tự ta được

\(\displaystyle \frac{1}{b}+\frac{4b}{3}\ge \frac{1}{6}\left( {{b}^{2}}-1 \right)+\frac{7}{3};\,\,\frac{1}{c}+\frac{4c}{3}\ge \frac{1}{6}\left( {{c}^{2}}-1 \right)+\frac{7}{3}\)

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

\(\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{4\left( a+b+c \right)}{3}\ge 7\)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Bài toán 4. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn \(\displaystyle a+b+c=3\) và làm cho các biểu thức của bất đẳng thức luôn xác định. Chứng minh rằng:

\(\sqrt{{{a}^{2}}+a-1}+\sqrt{{{b}^{2}}+b-1}+\sqrt{{{c}^{2}}+c-1}\le 3\)

Lời giải

Biểu thức P xác định khi và chỉ khi \(\displaystyle a,\,\,b,\,\,c\ge \frac{\sqrt{5}-1}{2}\). Dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại \(\displaystyle a=b=c=1\).

Khi đó ta đi tìm m để bất đẳng thức sau đúng

\(\displaystyle \sqrt{{{a}^{2}}+a-1}\le ma-\frac{1}{2}\)

Để ý đẳng thức xẩy ra tại \(\displaystyle a=1\) khi đó ta tìm được \(\displaystyle m=\frac{3}{2}\), tức là ta cần phải chứng minh được

\(\displaystyle \sqrt{{{a}^{2}}+a-1}\le \frac{3a-1}{2}\)

Thật vậy ta có \(\displaystyle \sqrt{{{a}^{2}}+a-1}=\sqrt{\frac{{{\left( 3a-1 \right)}^{2}}-5{{\left( a-1 \right)}^{2}}}{4}}\le \sqrt{\frac{{{\left( 3a-1 \right)}^{2}}}{4}}=\frac{3a-1}{2}\)

Chứng minh tương tự ta được

\(\sqrt{{{b}^{2}}+b-1}\le \frac{3b-1}{2};\,\,\,\sqrt{{{c}^{2}}+c-1}\le \frac{3c-1}{2}\)

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi \(\displaystyle a=b=c=1\).

Bài toán 5. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn \(\displaystyle a+b+c=3\). Chứng minh rằng

\(\displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}-a+3}+\frac{1}{{{b}^{2}}-b+3}+\frac{1}{{{c}^{2}}-c+3}\le 1\)

Lời giải

Vì a, b, c là các số thực dương thỏa mãn \(\displaystyle a+b+c=3\). Do đó ta được \(\displaystyle a,\,\,b,\,\,c\in \left( 0;\,\,3 \right)\). Dự đoán đẳng thức xẩy ra tại \(\displaystyle a=b=c=1\).

Ta cần tìm m để bất đẳng thức sau đúng

\(\displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}-a+3}\le ma+\frac{4}{9}\)

Để ý là đẳng thức xẩy ra tại \(\displaystyle a=1\), khi đó ta tìm được \(\displaystyle m=-\frac{1}{9}\)

Khi đó ta đi chứng minh \(\displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}-a+3}\le -\frac{a}{9}+\frac{4}{9}\)

Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên ta được

\(\displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}-a+3}\le \frac{4-a}{9}\Leftrightarrow \left( 4-a \right)\left( {{a}^{2}}-a+3 \right)\ge 9\Leftrightarrow \left( a-3 \right){{\left( a-1 \right)}^{2}}\ge 0\)

Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì \(\displaystyle a\in \left( 0;\,\,3 \right)\).

Chứng minh tương tự ta được \(\displaystyle \frac{1}{{{b}^{2}}-b+3}\le \frac{4-b}{9};\,\,\,\frac{1}{{{c}^{2}}-c+3}\le \frac{4-c}{9}\)

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

\(\displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}-a+3}+\frac{1}{{{b}^{2}}-b+3}+\frac{1}{{{c}^{2}}-c+3}\le \frac{12-\left( a+b+c \right)}{9}=1\)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi \(\displaystyle a=b=c=1\).

Bài toán 6. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện .

Chứng minh rằng: \(\displaystyle \frac{a}{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}+\frac{b}{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}+\frac{c}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\ge \frac{3\sqrt{3}}{2}\)

Lời giải

Từ giả thiết \(\displaystyle {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=1\), ta được

\(\displaystyle \frac{a}{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}+\frac{b}{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}+\frac{c}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\frac{a}{1-{{a}^{2}}}+\frac{b}{1-{{b}^{2}}}+\frac{c}{1-{{c}^{2}}}\)

Xét \(\displaystyle \frac{a}{1-{{a}^{2}}}-\frac{3\sqrt{3}}{2}{{a}^{2}}=\frac{2a-3\sqrt{3}{{a}^{2}}\left( 1-{{a}^{2}} \right)}{2\left( 1-{{a}^{2}} \right)}=\frac{a\left( \sqrt{3}a+2 \right){{\left( \sqrt{3}a-1 \right)}^{2}}}{2\left( 1-{{a}^{2}} \right)}\ge 0\)

Từ đó suy ra \(\displaystyle \frac{a}{1-{{a}^{2}}}\ge \frac{3\sqrt{3}}{2}{{a}^{2}}\), chứng minh tương tự ta được

\(\displaystyle \frac{b}{1-{{b}^{2}}}\ge \frac{3\sqrt{3}}{2}{{b}^{2}};\,\,\,\frac{c}{1-{{c}^{2}}}\ge \frac{3\sqrt{3}}{2}{{c}^{2}}\)

Cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta được

\(\displaystyle \frac{a}{1-{{a}^{2}}}+\frac{b}{1-{{b}^{2}}}+\frac{c}{1-{{c}^{2}}}\ge \frac{3\sqrt{3}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)

Vậy bất đẳng thức trên được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi \(\displaystyle a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\).

3. Kĩ thuật đổi biến và phương pháp hệ số bất định

Bây giờ chúng ta sẽ bước sang một khoảng không gian mới với lớp bất đẳng thức đối xứng ba biến và kĩ thuật đổi biến theo hướng chuẩn hóa kết hợp với phương pháp hệ số bất định.

Bài toán 1. Cho a, b, c là các số thực không dương. Chứng minh rằng:

\(\displaystyle \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge \frac{3}{2}\)

Lời giải

Chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức cho \(\displaystyle a+b+c\).

Khi đó ta đặt \(\displaystyle x=\frac{3a}{a+b+c};\,\,y=\frac{3b}{a+b+c};\,\,z=\frac{3c}{a+b+c}\) thì được \(\displaystyle x+y+z=3\). Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

\(\displaystyle \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\ge \frac{3}{2}\)

Bài toán trên tương đương với bài toán: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn \(\displaystyle a+b+c=3\). Chứng minh rằng \(\displaystyle \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge \frac{3}{2}\)

Cách đổi biến như trên ta gọi là chuẩn hóa.

Bài toán qui về việc chứng minh

\(\displaystyle \frac{a}{3-a}+\frac{b}{3-b}+\frac{c}{3-c}\ge \frac{3}{2}\)

Ta cần tìm hệ số m để bất đẳng thức đúng

\(\displaystyle \frac{a}{3-a}\ge \frac{1}{2}+m\left( a-1 \right)\Leftrightarrow \frac{3\left( a-1 \right)}{2\left( 3-a \right)}\ge m\left( a-1 \right)\)

Dễ dàng dự đoán \(\displaystyle m=\frac{3}{4}\). Ta chứng minh bất đẳng thức với m như vậy thì luôn đúng

\(\displaystyle \frac{a}{3-a}\ge \frac{3a-1}{4}\Leftrightarrow \frac{3{{\left( a-1 \right)}^{2}}}{4\left( 3-a \right)}\ge 0\)

Điều này hiển nhiên đúng.

Hoàn toàn tương tự ta được \(\displaystyle \frac{b}{3-b}\ge \frac{3b-1}{4};\,\,\frac{cb}{3-c}\ge \frac{3c-1}{4}\)

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được \(\displaystyle \frac{a}{3-a}+\frac{b}{3-b}+\frac{c}{3-c}\ge \frac{3}{2}\)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Bài toán 2. Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng

\(\displaystyle \frac{{{\left( b+c-a \right)}^{2}}}{2{{a}^{2}}+{{\left( b+c \right)}^{2}}}+\frac{{{\left( a+c-b \right)}^{2}}}{2{{b}^{2}}+{{\left( a+c \right)}^{2}}}+\frac{{{\left( a+b-c \right)}^{2}}}{2{{c}^{2}}+{{\left( b+a \right)}^{2}}}\ge \frac{3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}\)

Lời giải

Tương tự như bài toán trên ta có thể chọn \(\displaystyle a+b+c=3\). Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

\(\displaystyle \frac{2{{\left( 3-2a \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}-2a+3}+\frac{2{{\left( 3-2b \right)}^{2}}}{{{b}^{2}}-2b+3}+\frac{2{{\left( 3-2c \right)}^{2}}}{{{c}^{2}}-2c+3}\ge {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\)

Ta cần xác định hệ số m để bất đẳng thức sau là đúng

\(\displaystyle \frac{2{{\left( 3-2a \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}-2a+3}\ge {{a}^{2}}+m\left( a-1 \right)\)

Ta lại có

\(\displaystyle \frac{2{{\left( 3-2a \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}-2a+3}-{{a}^{2}}=-\frac{\left( a-1 \right)\left( a+3 \right)\left( {{a}^{2}}-4a+6 \right)}{{{a}^{2}}-2a+3}\)

Từ đây dễ dàng dự đoán với \(\displaystyle m=-6\) thì bất đẳng thức phụ trên là đúng. Thật vậy

\(\displaystyle \frac{2{{\left( 3-2a \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}-2a+3}\ge {{a}^{2}}-6\left( a-1 \right)\Leftrightarrow \frac{{{\left( a-1 \right)}^{2}}\left( 6-a \right)a}{{{a}^{2}}-2a+3}\ge 0\)

Điều này hiển nhiên đúng do \(\displaystyle a\in (0,3)\).

Hoàn toàn tương tự ta được

\(\displaystyle \frac{2{{\left( 3-2b \right)}^{2}}}{{{b}^{2}}-2b+3}\ge {{b}^{2}}-6\left( b-1 \right);\,\,\frac{2{{\left( 3-2c \right)}^{2}}}{{{c}^{2}}-2c+3}\ge {{c}^{2}}-6\left( c-1 \right)\)

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

\(\displaystyle \frac{2{{\left( 3-2a \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}-2a+3}+\frac{2{{\left( 3-2b \right)}^{2}}}{{{b}^{2}}-2b+3}+\frac{2{{\left( 3-2c \right)}^{2}}}{{{c}^{2}}-2c+3}\ge {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\displaystyle a=b=c\).

Bài toán 3. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

\(\displaystyle \frac{a\left( b+c \right)}{{{\left( b+c \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}+\frac{b\left( c+a \right)}{{{\left( c+a \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}+\frac{c\left( a+b \right)}{{{\left( a+b \right)}^{2}}+{{c}^{2}}}\le \frac{6}{5}\)

Lời giải

Tương tự như bài toán trên ta có thể chọn \(\displaystyle a+b+c=3\). Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

\(\displaystyle \frac{a\left( 3-a \right)}{9-6a+2{{a}^{2}}}+\frac{b\left( 3-b \right)}{9-6b+2{{b}^{2}}}+\frac{c\left( 3-c \right)}{9-6c+2{{c}^{2}}}\le \frac{6}{5}\)

Tương tự như trên ta dễ dàng tìm ra bất đẳng thức phụ sau:

\(\displaystyle \frac{a\left( 3-a \right)}{9-6a+2{{a}^{2}}}\le \frac{21+9a}{25}\Leftrightarrow 0\le \frac{{{\left( a-1 \right)}^{2}}\left( 18a+9 \right)}{25\left( 9-6a+2{{a}^{2}} \right)}\)

Tưng tự ta được \(\displaystyle \frac{b\left( 3-b \right)}{9-6b+2{{b}^{2}}}\le \frac{21+9b}{25};\,\,\frac{c\left( 3-c \right)}{9-6c+2{{c}^{2}}}\le \frac{21+9c}{25}\)

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

\(\displaystyle \frac{a\left( 3-a \right)}{9-6a+2{{a}^{2}}}+\frac{b\left( 3-b \right)}{9-6b+2{{b}^{2}}}+\frac{c\left( 3-c \right)}{9-6c+2{{c}^{2}}}\le \frac{6}{5}\)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\displaystyle a=b=c\).

Sau một quá trình tìm hiểu và phân tích cụ thể các bài toán, chắc hẳn rằng các bạn cũng đã phần nào cảm nhận được nét đẹp của phương pháp hệ số bất định dù rằng thực ra đây là một kĩ thuật cực kì đơn giản và dễ hiểu. Chúng tôi không xem  phương pháp hệ số bất định là một phương pháp chính thống mà đơn giản nó là một kĩ thuật cần biết và cần nắm vững khi bạn học bất đẳng thức. Nhiều người quan niệm rằng phương pháp hệ số bất định không có ý nghĩa gì nhưng theo bản thân chúng tôi nó nên được khái quát để sử dụng trong một số trường hợp. Phương pháp hệ số bất định là một bước đệm quan trọng và đôi khi mang nhiều ý nghĩa trên con đường đi tìm lời giải cho bài toán. Một kĩ thuật hay không nhất thiết nó là nó giải được tất cả các dạng toán mà là nó phải đưa ta đến những ý tưởng, đường đi sáng sủa, dễ nghĩ, dễ nhận thấy bằng mặt trực quan.