Cực trị của hàm số

Lý thuyết cực trị của hàm số

1. Định nghĩa cực trị của hàm số

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) và điểm \(\displaystyle {{x}_{0}}\) ∈ (a ; b)

– Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(\(\displaystyle {{x}_{0}}\)), ∀x ∈ (\(\displaystyle {{x}_{0}}\) – h ; \(\displaystyle {{x}_{0}}\) + h), x # \(\displaystyle {{x}_{0}}\) thì ta nói hàm số f đạt cực đại tại \(\displaystyle {{x}_{0}}\) .

– Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(\(\displaystyle {{x}_{0}}\)), ∀x ∈ (\(\displaystyle {{x}_{0}}\) – h ; \(\displaystyle {{x}_{0}}\) + h), x # \(\displaystyle {{x}_{0}}\) thì ta nói hàm số f đạt cực tiểu tại \(\displaystyle {{x}_{0}}\) .

2. Định lí 1

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x\(\displaystyle {{x}_{0}}\) – h ; \(\displaystyle {{x}_{0}}\) + h) (h > 0) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ { \(\displaystyle {{x}_{0}}\) }.

– Nếu \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}f'(x)>0|\forall ({{x}_{0}}-h;{{x}_{0}})\\f'(x)<0|\forall ({{x}_{0}};{{x}_{0}}+h)\end{array} \right.\) thì \(\displaystyle {{x}_{0}}\) là điểm cực đại của hàm số

– Nếu \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}f'(x)<0|\forall ({{x}_{0}}-h;{{x}_{0}})\\f'(x)>0|\forall ({{x}_{0}};{{x}_{0}}+h)\end{array} \right.\) thì \(\displaystyle {{x}_{0}}\) là điểm cực tiểu của hàm số

3. Định lí 2

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng K = (\(\displaystyle {{x}_{0}}\) – h ; \(\displaystyle {{x}_{0}}\) + h) (h > 0).

– Nếu f'(\(\displaystyle {{x}_{0}}\)) = 0, f”(\(\displaystyle {{x}_{0}}\)) > 0 thì \(\displaystyle {{x}_{0}}\) là điểm cực tiểu của hàm số

– Nếu f'(\(\displaystyle {{x}_{0}}\)) = 0, f”(\(\displaystyle {{x}_{0}}\)) < 0 thì \(\displaystyle {{x}_{0}}\) là điểm cực đại của hàm số

4. Quy tắc tìm cực trị của hàm số

Quy tắc 1:

– Tìm tập xác định.

– Tính f'(x). Tìm các điểm tại đó f'(x) bằng f'(x) không xác định.

– Lập bảng biến thiên.

– Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Quy tắc 2:

– Tìm tập xác định.

– Tính f'(x). Tìm các nghiệm của phương trình f'(x)=0.

– Tính f”(x) và f”(\(\displaystyle {{x}_{i}}\)) suy ra tính chất cực trị của các điểm \(\displaystyle {{x}_{i}}\)

*Chú ý: nếu f”(\(\displaystyle {{x}_{i}}\))=0 thì ta phải dùng quy tắc 1 để xét cực trị tại \(\displaystyle {{x}_{i}}\)