Cực trị của hàm số

Lý thuyết cực trị của hàm số

1. Định nghĩa cực trị của hàm số

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) và điểm \displaystyle {{x}_{0}} ∈ (a ; b)

– Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(\displaystyle {{x}_{0}}), ∀x ∈ (\displaystyle {{x}_{0}} – h ; \displaystyle {{x}_{0}} + h), x # \displaystyle {{x}_{0}} thì ta nói hàm số f đạt cực đại tại \displaystyle {{x}_{0}} .

– Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(\displaystyle {{x}_{0}}), ∀x ∈ (\displaystyle {{x}_{0}} – h ; \displaystyle {{x}_{0}} + h), x # \displaystyle {{x}_{0}} thì ta nói hàm số f đạt cực tiểu tại \displaystyle {{x}_{0}} .

2. Định lí 1

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x\displaystyle {{x}_{0}} – h ; \displaystyle {{x}_{0}} + h) (h > 0) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ { \displaystyle {{x}_{0}} }.

– Nếu \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}f'(x)>0|\forall ({{x}_{0}}-h;{{x}_{0}})\\f'(x)<0|\forall ({{x}_{0}};{{x}_{0}}+h)\end{array} \right. thì \displaystyle {{x}_{0}} là điểm cực đại của hàm số

– Nếu \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}f'(x)<0|\forall ({{x}_{0}}-h;{{x}_{0}})\\f'(x)>0|\forall ({{x}_{0}};{{x}_{0}}+h)\end{array} \right. thì \displaystyle {{x}_{0}} là điểm cực tiểu của hàm số

3. Định lí 2

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng K = (\displaystyle {{x}_{0}} – h ; \displaystyle {{x}_{0}} + h) (h > 0).

– Nếu f'(\displaystyle {{x}_{0}}) = 0, f”(\displaystyle {{x}_{0}}) > 0 thì \displaystyle {{x}_{0}} là điểm cực tiểu của hàm số

– Nếu f'(\displaystyle {{x}_{0}}) = 0, f”(\displaystyle {{x}_{0}}) < 0 thì \displaystyle {{x}_{0}} là điểm cực đại của hàm số

4. Quy tắc tìm cực trị của hàm số

Quy tắc 1:

– Tìm tập xác định.

– Tính f'(x). Tìm các điểm tại đó f'(x) bằng f'(x) không xác định.

– Lập bảng biến thiên.

– Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Quy tắc 2:

– Tìm tập xác định.

– Tính f'(x). Tìm các nghiệm của phương trình f'(x)=0.

– Tính f”(x) và f”(\displaystyle {{x}_{i}}) suy ra tính chất cực trị của các điểm \displaystyle {{x}_{i}}

*Chú ý: nếu f”(\displaystyle {{x}_{i}})=0 thì ta phải dùng quy tắc 1 để xét cực trị tại \displaystyle {{x}_{i}}

Toán cấp 3 © 2007 Toán cấp 3