Lý thuyết nhị thức Newton và tam giác Pascal
Tóm tắt kiến thức về nhị thức Newton
Tóm tắt
I. Nhị thức Newton
1. Công thức nhị thức Newton
Với a, b là những số thực tùy ý và với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta có:
[latex](a + b)^n[/latex] = [latex]C_{n}^{0}a^n+C_{n}^{1}a^{n-1}b+C_{n}^{2}a^{n-2}b{^2}+…+C_{n}^{n-1}ab^{n-1}+C_{n}^{n}b{^n} [/latex] (1)
2. Quy ước
Với a là số thực khác 0 và n là số tự nhiên khác 0, ta quy ước:
[latex]a^0[/latex] = 1; $latex \displaystyle {{a}^{-n}}=\frac{1}{{{a}^{n}}}$
3. Chú ý
Với các điều kiện và quy ước ở trên, đồng thời thêm điều kiện a và b đều khác 0, có thể viết công thức (1) ở dạng sau đây:
[latex]{(a + b)}^n[/latex] = [latex]\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}[/latex] = [latex]\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{k}b^{n-k}[/latex]
II. Tam giác Pascal
1. Mô hình của tam giác Pascal
Ứng dụng tam giác pascal khai triển [latex]{(x-y)}^n[/latex]
2. Cấu tạo của tam giác Pascal
– Số đầu tiên và cuối cùng đều bằng 1
– Xét hai số ở cột k và cột k + 1, đồng thời cùng thuộc dòng n, (k ≥ 0; n ≥1), ta có: tổng của hai số này bằng số đứng ở giao của cột k + 1 và dòng n + 1.
3. Tính chất của tam giác Pascal
Từ cấu tạo của tam giác Pascal, có thể chứng minh được rằng:
a) Giao của dòng n và cột k là [latex]C_{n}^{k}[/latex]
b) Các số của tam giác Pascal thỏa mãn công thức Pascal:
[latex]C_{n}^{k}[/latex] + [latex]C_{n}^{k+1}[/latex] = [latex]C_{n+1}^{k+1}[/latex]
c) Các số ở dòng n là các hệ số trong khai triển của nhị thức [latex](a + b)^{n}[/latex] (theo công thức nhị thức Newton), với a, b là hai số thực tùy ý. Chẳng hạn, các số ở dòng 4 là các hệ số trong khai triển của [latex](a + b)^{4}[/latex] (theo công thức nhị thức Niu – Tơn) dưới đây:
[latex](a + b)^{4}[/latex] = [latex]a^{4} + 4a^{3}b + 6a^{2}b^{2} + 4ab^{3} + b^{4}[/latex]