Cách chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất

Bài viết này hướng dẫn các em cách chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất. Có vị dụ minh họa và bài tập tương tự cho các em tự giải.

Để chứng minh phương trình f\left( x \right)=g\left( x \right)\left( * \right) có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau:

* Chọn được {x_0} là nghiệm

* Xét các hàm số y=f\left( x \right)\left( {{C_1}} \right)y=g\left( x \right)\left( {{C_2}} \right). Ta cần chứng minh một hàm số đồng biến, một hàm số nghịch biến. Khi đó \left( {{C_1}} \right),\left( {{C_2}} \right) giao nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ là {x_0}. Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*).

Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y=c thì kết luận trên vẫn đúng.

Chúng ta lần lượt xét các ví dụ áp dụng mệnh đề trên.

Ví dụ 1 Giải phương trình:

\sqrt {{x^2} + 15} = 3x - 2 + \sqrt {{x^2} + 8}

Lời giải:

Điều kiện của phương trình là với mọi x

Phương trình đã cho tương đương với phương trình sau

\sqrt{{x^2}+15} -\sqrt{{x^2}+8}=3x-2 \Leftrightarrow\frac{7}{{\sqrt {{x^2}+15}+\sqrt{{x^2} + 8}}}=3x-2

Nếu x \le 0 thì phương trình vô nghiệm. Vậy ta xét x > 0

Ta thấy phương trình có một nghiệm là x=1

Xét f(x)=\sqrt{{x^2}+15}-3x+2-\sqrt{{x^2}+8}.

Ta có: f'\left( x \right)=x\left( {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 15} }} - \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 8} }}} \right) - 3

Do x > 0 nên f'\left( x \right) < 0. Vậy hàm số y=f\left( x \right) nghịch biến trên khoảng \left( {0; + \infty } \right)

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x=1

Ví dụ 2 Giải phương trình sau:

{x^5}+{x^3}-\sqrt {1 - 3x}+4=0

Lời giải

Điều kiện của phương trình 1 - 3x \ge 0 \Leftrightarrow x \le \frac{1}{3}

Ta thấy phương trình có một nghiệm là x=-1

Xét f\left(x\right)={x^5}+{x^3}-\sqrt {1-3x}+4 với x \in \left( { - \infty ;\frac{1}{3}} \right]

Ta có: f'\left(x\right)=5{x^4}+3{x^2}+\frac{3}{{2\sqrt {1 - 3x}}}>0 \forall x\in\left({-\infty;\frac{1}{3}}\right)

Do đó phương trình có duy nhất nghiệm là x=-1.

MỘT SỐ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Giải các phương trình sau:

Bài 1: \sqrt x+\sqrt {x-5}=\sqrt 5

Bài 2: \sqrt x+\sqrt {x-5}+\sqrt {x+7}+\sqrt {x+16}=14

Bài 3: \ln\left({x-4}\right)=5-x

Bài 4: {2^x}+{3^x}+{5^x}=38

 (Nguồn bài viết: nguyenanhtuan2011.wordpress.com)