Hệ phương trình đối xứng và một số bài toán liên quan

Ở bài viết này Toancap3.com cùng các em đi tìm hiểu Một số bài toán liên quan tới Hệ phương trình đối xứng với các ví dụ minh họa.

Chúng ta cùng giải các ví dụ để rút ra kinh nghiệm cho từng dạng phương trình đối xứng.

1. Dùng ẩn phụ để đưa hệ phương trình đối xứng không giải được theo cách giải “quen thuộc” về hệ phương trình đối xứng giải được theo cách giải “quen thuộc”

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x\sqrt{y}+y\sqrt{x}=30\\x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=35\end{array} \right.\)

  • Đây là hệ phương trình đối xứng loại một đối với hai ẩn xy và không giải được theo cách giải “quen thuộc”.
  • Dùng ẩn phụ \(u=\sqrt{x}\) và \(v=\sqrt{y}\) đưa hệ phương trình về hệ phương trình giải được theo cách giải “quen thuộc”.
  • Nghiệm của hệ phương trình là \((4;9),(9;4)\)

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x+\sqrt[4]{y-1}=1\\y+\sqrt[4]{x-1}=1\end{array} \right.\)

  • Đây là hệ phương trình đối xứng loại hai đối với hai ẩn xy và không giải được theo cách giải “quen thuộc”.
  • Dùng ẩn phụ \(u=\sqrt[4]{x-1}\) và \(v=\sqrt[4]{y-1}\) đưa hệ phương trình về hệ phương trình giải được theo cách giải “quen thuộc”.
  • Nghiệm của hệ phương trình là \((1;1)\)

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\left| x \right|={{y}^{2}}-\left| y \right|\\\left| y \right|={{x}^{2}}-\left| x \right|\end{array} \right.\)

  • Đây là hệ phương trình đối xứng loại hai đối với hai ẩn xy và không giải được theo cách giải “quen thuộc”.
  • Dùng ẩn phụ \(u=\left| x \right|\) và \(v=\left| y \right|\) đưa hệ phương trình về hệ phương trình giải được theo cách giải “quen thuộc”.
  • Nghiệm của hệ phương trình là \((0;0),(2;2),(2;-2),(-2;2),(-2;-2)\)

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}=5\\\left| x-y \right|+\left| x+y \right|+\left| {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right|=5\end{array} \right.\)

  • Đây là hệ phương trình đối xứng loại một đối với hai ẩn xy và không giải được theo cách giải “quen thuộc”.
  • Dùng ẩn phụ \(u=\left| x+y \right|\) và \(v=\left| x-y \right|\) đưa hệ phương trình về hệ phương trình giải được theo cách giải “quen thuộc”.
  • Nghiệm của hệ phương trình là \((\frac{1}{2};\frac{3}{2}),(\frac{3}{2};\frac{1}{2}),(-\frac{1}{2};-\frac{3}{2}),(-\frac{3}{2};-\frac{1}{2}),(\frac{3}{2};-\frac{1}{2})\), \((-\frac{3}{2};\frac{1}{2})\), \((\frac{1}{2};-\frac{3}{2})\), \((-\frac{1}{2};\frac{3}{2})\).

Ví dụ 5. Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=4\\{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}=4\end{array} \right.\)

  • Đây là hệ phương trình đối xứng loại một đối với hai ẩn xy và nếu giải theo cách giải “quen thuộc” thì dẫn đến hệ phương trình rất phức tạp.
  • Dùng ẩn phụ \(u=x+\frac{1}{x}\) và \(v=y+\frac{1}{y}\) đưa hệ phương trình về hệ phương trình giải được theo cách giải “quen thuộc”.
  • Nghiệm của hệ phương trình là (1;1)

Trong một số trường hợp khi gặp hệ phương trình đối xứng ta không thể giải được theo cách giải “quen thuộc” và cũng không chọn được ẩn phụ nào thích hợp để đưa về cách giải “quen thuộc”, khi đó ta sẽ dùng phương pháp đánh giá, hay sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải quyết. Các ví dụ sau đây sẽ minh hoạ cho hai trường hợp như thế.

2. Dùng ẩn phụ để đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng

Ví dụ 6. Giải phương trình \(\sqrt[4]{6-x}+\sqrt[4]{x-2}=\sqrt{2}\)

  • Phương trình này không thể giải quyết được bằng phép biến đổi tương đương.
  • Dùng ẩn phụ \(u=\sqrt[4]{6-x}\) và \(v=\sqrt[4]{x-2}\) đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại một với cách giải “quen thuộc”.
  • Nghiệm của phương trình là \(x=2\) và \(x=6.\)
  • Dạng tổng quát của bài toán này là \(\sqrt[n]{a+f(x)}+\sqrt[n]{b-f(x)}=c.\)

Ví dụ 7. Giải phương trình \({{x}^{3}}+1=2\sqrt[3]{2x-1}\)

  • Phương trình này không thể giải quyết được bằng phép biến đổi trực tiếp.
  • Dùng ẩn phụ \(u=\sqrt[3]{2x-1}\) đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại hai với cách giải “quen thuộc”.
  • Nghiệm của phương trình là \(x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}\) và \(x=1\)
  • Dạng tổng quát của bài toán này là \({{x}^{n}}+b=a\sqrt[n]{ax-b}.\)

Ví dụ 8. Giải phương trình \(9+\sqrt{9+\sqrt{x}}=x\)

  • Nếu dùng phép biến đổi tương đương sẽ dẫn đến phương trình bậc bốn phức tạp.
  • Dùng ẩn phụ \(u=9+\sqrt{x}\) đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại hai với cách giải “quen thuộc”.
  • Nghiệm của phương trình là \(x=\frac{19+\sqrt{37}}{2}.\)
  • Dạng tổng quát của bài toán này là \(x=a+\sqrt{a+\sqrt{x}}\)

Ví dụ 9. Giải phương trình \(\sqrt[3]{x-9}={{(x-3)}^{3}}+6\)

  • Nếu dùng phép biến đổi tương đương sẽ dẫn đến phương trình rất phức tạp.
  • Dùng ẩn phụ \(u-3=\sqrt[3]{x-9}\) đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại hai với cách giải “quen thuộc”.
  • Nghiệm của phương trình là \(x=1\)
  • Dạng tổng quát của bài toán này \(\sqrt[n]{ax+b}=c{{(dx+e)}^{n}}+\alpha x+\beta \) là trong đó \(d=ac+\alpha \) và \(e=bc+\beta\). Ta sử dụng ẩn phụ \(du+e=\sqrt[n]{ax+b}.\)

Ví dụ 10. Giải phương trình \({{7}^{x}}=2{{\log }_{7}}{{(6x+1)}^{3}}+1\)

  • Bài toán này rất khó giải nếu không dùng ẩn phụ.
  • Dùng ẩn phụ \(u={{\log }_{7}}(6x+1)\) đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại hai.
  • Nghiệm của phương trình là \(x=0\) và \(x=1\)
  • Dạng tổng quát của bài toán này là \({{a}^{{{\alpha }_{1}}x+{{\beta }_{1}}}}=p{{\log }_{a}}({{\alpha }_{2}}x+{{\beta }_{2}})+qx+r\)

Ví dụ 11. Giải phương trình \(1-2{{(1-2{{x}^{2}})}^{2}}=x\)

  • Dùng ẩn phụ \(u=1-2{{x}^{2}}\) đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại hai.
  • Nghiệm của phương trình là \(x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{4}\), \(x=\frac{1}{2}\) và \(x=-1\)
  • Dạng tổng quát của bài toán này là \(a-b{{(a-b{{x}^{2}})}^{2}}=x.\)

3. Bài tập vận dụng bổ sung

a) \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{3}}-x{{y}^{2}}+2000y=0\\{{y}^{3}}-y{{x}^{2}}-500x=0\end{array} \right.\)

2) Tìm m để hệ phương trình sau có đúng 2 nghiệm

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{\left( x+y \right)}^{8}}=256\\{{x}^{8}}+{{y}^{8}}=m+2\end{array} \right.\)

3) \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{3}}+y=2\\{{y}^{3}}+x=2\end{array} \right.\)

Tổng quát: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{6k+3}}+y=2\\{{y}^{6k+3}}+x=2\end{array} \right.\,\,\,\left( k\in N \right)\)

4) \(\displaystyle 2\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)=3\sqrt{{{x}^{3}}+8}\)

5) \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\sqrt{{{x}^{2}}+21}=\sqrt{y-1}+{{y}^{2}}\\\sqrt{{{y}^{2}}+21}=\sqrt{x-1}+{{x}^{2}}\end{array} \right.\)

6) \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\sqrt{x+30.4}+\sqrt{y-2001}=2121\\\sqrt{x-2001}+\sqrt{y+30.4}=2121\end{array} \right.\)