Khái niệm và ý nghĩa của đạo hàm

Khái niệm và ý nghĩa của đạo hàm, đạo hàm trên một khoảng cho trước, các dạng toán thường gặp của đạo hàm, ứng dụng và ý nghĩa hình học của đạo hàm..

1.Khái niệm đạo hàm

Cho hàm số \( \displaystyle y = f\left( x \right)\) , xác định trên khoảng (a;b) và \( {{x}_{0}}\in \left( a;b \right)\)
Giới hạn nều có của \( \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\) khi \( x\to {{x}_{0}}\) được gọi là đạo hàm của hàm số \( y=f\left( x \right)\) tại \( {{x}_{0}}\) kí hiệu là \( f’\left( {{x}_{0}} \right)\)

– Nếu đặt số gia biến số : \( \Delta x=x-{{x}_{0}}\)
– Số gia tương ứng của hàm số \( \Delta y=f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)\)
– Thì đạo hàm của hàm số có thể viết dưới dạng

\( f’\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}\)

2. Ý nghĩa của đạo hàm

a. Tiếp tuyến của đường cong : cho một đường cong (C) và điểm cố định \( {{M}_{0}}\in \left( C \right)\), một điểm M dịch chuyển trên (C). Khi đó \( {{M}_{0}}\) M là cát tuyến của (C).

– Nếu cát tuyến \( {{M}_{0}}\)M có vị trí giới hạn là \( {{M}_{0}}\)T khi M\to {{M}_{0}} thì \( {{M}_{0}}\)T là tiếp tuyến của đường cong (C) và \( {{M}_{0}}\) là tiếp điểm

b. Ý nghĩa hình học của đạo hàm : Cho hàm số \( y=f\left( x \right)\) xác định trên (a;b) có đồ thị là đường cong (C) và có đạo hàm tại \( {{x}_{0}}\in \left( a;b \right)\). Khi đó hệ số góc tiếp tuyến của đường cong (C) tại \( {{M}_{0}}\) chính là giá trị đạo hàm của hàm số \( f\left( x \right)\) tại \( {{x}_{0}}\)

3. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng

– Hàm số \( y=f\left( x \right)\) gọi là có đạo hàm trên đoạn (a;b) nếu hàm số có đạo hàm tại mọi điểm trên đoạn (a;b)

* Các dạng toán thường gặp với chuyên đề đạo hàm
Dạng 1 : Tìm đạo hàm của hàm số tại một điểm cho trước

Cho hàm số \( y=f\left( x \right)\) xác định (a;b) và điểm \( {{x}_{0}}\in \left( a;b \right)\) để tìm đạo hàm của hàm số tại \( {{x}_{0}}\)
– Tìm giá trị của hàm số tại \( {{x}_{0}}\)
– Thực hiện biến đổi tìm giới hạn \( \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\)

Dạng 2 : Tìm đạo hàm của hàm số trên một khoảng

Để tìm đạo hàm của hàm số trên một khoảng cho trước ta làm như sau :

– Tính \( \Delta y=f\left( x+\Delta x \right)-f\left( x \right)\)
– Tìm tỉ số \( \frac{\Delta y}{\Delta x}\)
– Tìm giới hạn \( \underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}\) chính là đạo hàm của hàm số trên khoảng (a;b)

Dạng 3 : Ứng dụng và ý nghĩa hình học của đạo hàm

– Tìm hệ số góc k của cát tuyến MN với đường cong (C): y = f(x) với M, N thuộc (C)

\( k=\frac{f\left( {{x}_{M}} \right)-f\left( {{x}_{N}} \right)}{{{x}_{M}}-{{x}_{N}}}\)
– Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y =f(x) tại M \( \left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) ,
\( y={{y}_{0}}=f’\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)\)