Khái niệm và ý nghĩa của đạo hàm
Khái niệm và ý nghĩa của đạo hàm, đạo hàm trên một khoảng cho trước, các dạng toán thường gặp của đạo hàm, ứng dụng và ý nghĩa hình học của đạo hàm..
1.Khái niệm đạo hàm
Cho hàm số [latex] \displaystyle y = f\left( x \right)[/latex] , xác định trên khoảng (a;b) và [latex] {{x}_{0}}\in \left( a;b \right)[/latex]
Giới hạn nều có của [latex] \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}[/latex] khi [latex] x\to {{x}_{0}}[/latex] được gọi là đạo hàm của hàm số [latex] y=f\left( x \right)[/latex] tại [latex] {{x}_{0}}[/latex] kí hiệu là [latex] f’\left( {{x}_{0}} \right)[/latex]
– Nếu đặt số gia biến số : [latex] \Delta x=x-{{x}_{0}}[/latex]
– Số gia tương ứng của hàm số [latex] \Delta y=f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)[/latex]
– Thì đạo hàm của hàm số có thể viết dưới dạng
[latex] f’\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}[/latex]
2. Ý nghĩa của đạo hàm
a. Tiếp tuyến của đường cong : cho một đường cong (C) và điểm cố định [latex] {{M}_{0}}\in \left( C \right)[/latex], một điểm M dịch chuyển trên (C). Khi đó [latex] {{M}_{0}}[/latex] M là cát tuyến của (C).
– Nếu cát tuyến [latex] {{M}_{0}}[/latex]M có vị trí giới hạn là [latex] {{M}_{0}}[/latex]T khi M\to {{M}_{0}} thì [latex] {{M}_{0}}[/latex]T là tiếp tuyến của đường cong (C) và [latex] {{M}_{0}}[/latex] là tiếp điểm
b. Ý nghĩa hình học của đạo hàm : Cho hàm số [latex] y=f\left( x \right)[/latex] xác định trên (a;b) có đồ thị là đường cong (C) và có đạo hàm tại [latex] {{x}_{0}}\in \left( a;b \right)[/latex]. Khi đó hệ số góc tiếp tuyến của đường cong (C) tại [latex] {{M}_{0}}[/latex] chính là giá trị đạo hàm của hàm số [latex] f\left( x \right)[/latex] tại [latex] {{x}_{0}}[/latex]
3. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng
– Hàm số [latex] y=f\left( x \right)[/latex] gọi là có đạo hàm trên đoạn (a;b) nếu hàm số có đạo hàm tại mọi điểm trên đoạn (a;b)
* Các dạng toán thường gặp với chuyên đề đạo hàm
Dạng 1 : Tìm đạo hàm của hàm số tại một điểm cho trước
Cho hàm số [latex] y=f\left( x \right)[/latex] xác định (a;b) và điểm [latex] {{x}_{0}}\in \left( a;b \right)[/latex] để tìm đạo hàm của hàm số tại [latex] {{x}_{0}}[/latex]
– Tìm giá trị của hàm số tại [latex] {{x}_{0}}[/latex]
– Thực hiện biến đổi tìm giới hạn [latex] \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}[/latex]
Dạng 2 : Tìm đạo hàm của hàm số trên một khoảng
Để tìm đạo hàm của hàm số trên một khoảng cho trước ta làm như sau :
– Tính [latex] \Delta y=f\left( x+\Delta x \right)-f\left( x \right)[/latex]
– Tìm tỉ số [latex] \frac{\Delta y}{\Delta x}[/latex]
– Tìm giới hạn [latex] \underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}[/latex] chính là đạo hàm của hàm số trên khoảng (a;b)
Dạng 3 : Ứng dụng và ý nghĩa hình học của đạo hàm
– Tìm hệ số góc k của cát tuyến MN với đường cong (C): y = f(x) với M, N thuộc (C)
[latex] k=\frac{f\left( {{x}_{M}} \right)-f\left( {{x}_{N}} \right)}{{{x}_{M}}-{{x}_{N}}}[/latex]
– Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y =f(x) tại M [latex] \left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)[/latex] ,
[latex] y={{y}_{0}}=f’\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)[/latex]