Lý thuyết Hoán vị - Chỉnh hợp và Tổ hợp

Lý thuyết Hoán vị - Chỉnh hợp và Tổ hợp bao gồm định nghĩa, định lí, các khái niệm về tổ hợp chập n của phần tử.

1. Khái niệm hoán vị

Cho n phần tử khác nhau (n ≥ 1). Mỗi cách sắp thứ tự của n phần tử đã cho, mà trong đó mỗi phần tử có mặt đúng một lần, được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

Định lí: Số các hoán vị của n phần tử khác nhau đã cho (n ≥ 1) được kí hiệu là \displaystyle {{P}_{n}} và bằng:

\displaystyle {{P}_{n}} =n(n-1)(n-2)...2.1=n!

2. Chỉnh hợp

Định nghĩa chỉnh hợp: Cho n phần tử khác nhau (n ≥ 1). Mỗi tập con sắp thứ tự gồm k phần tử khác nhau (1 ≤ k ≤ n) của tập hợp n phần tử đã cho được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

Chú ý:

Mỗi hoán vị của n phần tử khác nhau đã cho chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó.

Định lí:

Số chỉnh hợp chập k của n phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là Akn và bằng

\displaystyle A_{n}^{k}=n(n-1)...(n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!} với (1 ≤ k ≤ n),

Với quy ước 0! = 1.

3. Tổ hợp

Định nghĩa:

Cho n phần tử khác nhau (n ≥ 1). Mỗi tập con gồm k phần tử khác nhau (không phân biệt thứ tự) của tập hợp n phần tử đã cho (0 ≤ k ≤ n) được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử dã cho (với quy ước tổ hợp chập 0 của n phần tử bất kỳ là tập rỗng).

Định lí:

Số các tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là Ckn và bằng

\displaystyle C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{A_{n}^{k}}{k!} , (0 ≤ k ≤ n).

Định lí:

Với mọi n ≥ 1; 0 ≤ k ≤ n, ta có:

a) \displaystyle C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}

b) \displaystyle C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}=C_{n+1}^{k+1} ( công thức Pascal).