Một bài toán lượng giác hay

Toancap3.com xin chia sẻ một bài toán lượng giác hay. Bài viết được sưu tầm từ blog nguyenanhtuan2011.wordpress.com.

Cho 0 < x;y < \frac{\pi }{2}\frac{\pi }{3} \le x+y<\frac{\pi }{2}

Giải phương trình sau: \cos(x+y)\sin x\sin y=\frac{1}{8}

Lời giải 1: ( Theo maxmin )

Do \sin x\sin y \le {\left( {\frac{{\sin x + \sin y}}{2}} \right)^2} \le {\sin ^2}\frac{{x + y}}{2}
Vậy:
\cos \left( {x + y} \right)\sin x\sin y \le {\sin ^2}\frac{{x + y}}{2} - 2{\sin ^4}\frac{{x + y}}{2} \le \frac{1}{8}

Lời giải 2: ( Theo longtoanlqc )

Không giảm tính tổng quát giả sử:x \ge y \to x \ge \frac{\pi }{6}(*)
Xét hàm số: f(x)=\sin y\sin x\cos(x+y)
f'(x)=\sin y\cos(2x+y),vì (*) và giải thiết ta suy ra được :
2x+y=x+(x+y)>\frac{\pi }{2}
Suy ra f'(x)=\sin y\cos(2x+y)<0
Do đó f(x) nghịch biến, ta được:
\begin{array}{l}\to f(x)=\sin x.\sin y\cos(x + y) \le {\sin ^2}y\cos2y=\frac{1}{2}(1 - \cos2y)\cos2y \\=\frac{1}{2}(\cos2y - \cos^22y) \le \frac{1}{8}. \\ \end{array}
Vì vậy từ pt ta suy ra \left\{ \begin{array}{l} x=y \\ c{\rm{os}}2y=\frac{1}{2} \\ \end{array} \right. \to x=y=\frac{\pi }{6}
 (Nguồn bài viết: nguyenanhtuan2011.wordpress.com)