Phương pháp tìm tập giá trị của hàm số

Phương pháp tìm tập giá trị của hàm số:

Gồm có 3 bước:

– Bước 1 : Tìm tập xác định của hàm số : D
– Bước 2 : Dựa vào biểu thức y = f(x), đưa giá trị của hàm số y về dạng : a ≤ y ≤ b
– Bước 3 : Kết luận tập giá trị của hàm số y = f(x) là : T = [a; b].

Phương pháp chung để tìm tập giá trị của hàm số:

– Với trường hợp y = f(x) với mũ cao nhất của biến x là 2 :
Ta tìm tất cả giá trị của y để phương trình : y = f(x) có nghiệm x ∈ D, y là tham số
Thông thường chúng ta dùng tính chất của bất đẳng thức để tìm ra giá trị của hàm số y.

Bài tập cơ bản tìm tập giá trị của hàm số

Bài 1: Tìm tập giá trị của hàm số y = f(x) = 4x + 1
TXĐ : D = R.
Do –∞ ≤ x ≤ +∞ nên : –∞ ≤ 4x +1 ≤ +∞
Hay : –∞ ≤ y ≤ +∞
Vậy tập giá trị của hàm số đã cho là T = R.

Bài 2: Tìm tập giá trị của hàm số \(\displaystyle y=f(x)=x_{{}}^{2}-4x+6\)
TXĐ : D = R.
Ta có :\(\displaystyle y=f(x)=x_{{}}^{2}-4x+6=(x-2)_{{}}^{2}+2\ge 2\) với ∀ x ∈ D
Hay : y ≥ 2
Vậy tập giá trị của hàm số là T = [2; +∞)

Bài 3 : Tìm tập giá trị của hàm số \(\displaystyle y=f(x)=\frac{{2x-3}}{{x+1}}\)
TXĐ : D = R\{–1}.

Cách 1:

Ta có : \(\displaystyle y=f(x)=\frac{{2x-3}}{{x+1}}\) với x ∈ D
⇔ y(x+ 1) = 2x – 3
⇔ yx + y = 2x – 3
⇔ (y – 2)x = – 3 – y (*)
Khi y = 2 : 0.x = –5 phương trình (*) vô nghiệm.
Khi y ≠ 2 : phương trình (*) vô số nghiệm.
Với x ≠ –1 : (y – 2)( –1) ≠ – 3 – y ⇔ 0.y ≠ 5 (đúng)
nên y ≠ 2 thì phương trình (*) có nghiệm x ∈ D
Vậy tập giá trị của hàm số là T = R\{2}

Cách 2 :
Ta có : hàm số \(\displaystyle y=f(x)=\frac{{2x-3}}{{x+1}}=2-\frac{5}{{x+1}}\)
Do : \(\displaystyle \frac{5}{{x+1}}\) ≠ 0 với x ∈ D.
nên : \(\displaystyle y=2-\frac{5}{{x+1}}\) ≠ 2 với x ∈ D
Vậy tập giá trị của hàm số là T = R\{2}

Bài 4: Tìm tập giá trị của hàm số y = f(x) = 2sinx – 4
TXĐ : D = R.
Ta có : -1 ≤ sinx ≤ 1 với x ∈ D
⇔ -2 ≤ 2sinx ≤ 2
⇔ -6 ≤ 2sinx – 3 ≤ -2
Hay -6 ≤ y ≤ -2
Vậy tập giá trị của hàm số là T = [-6 ; -2]

Các em dùng cách tương tự để tìm tập giá trị của các hàm số dưới đây:

1. \(\displaystyle y=f(x)=\frac{{x_{{}}^{2}+x-1}}{{x-1}}\) ( Đáp án: T = (-∞ ; 1] ∪ [5; +∞)

2. \(\displaystyle y=f(x)=\sqrt{{x+1}}+\sqrt{{4-x}}\) ( Đáp án: T = \(\displaystyle \text{ }\!\![\!\!\text{ }\sqrt{5};\sqrt{{10}}\text{ }\!\!]\!\!\text{ }\) )