Định nghĩa, định lý hàm số liên tục

Lý thuyết hàm số liên tục

1. Định nghĩa hàm số liên tục

Định nghĩa. Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và \(\displaystyle {{x}_{0}}\) ∈ K . Hàm số y = f(x) đươc gọi là liên tục tại \(\displaystyle {{x}_{0}}\) nếu f(x) = f(\(\displaystyle {{x}_{0}}\))

– Hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó

– Hàm số y = f(x) không liên tục tại \(\displaystyle {{x}_{0}}\) được gọi là gián đoạn tại điểm đó

– Hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và
\(\displaystyle \underset{{x\to a_{{}}^{+}}}{\mathop{{\lim }}}\,f(x)=f(a)\); \(\displaystyle \underset{{x\to b_{{}}^{-}}}{\mathop{{\lim }}}\,f(x)=f(b)\)

Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một “đường liền” trên khoảng đó.

2. Các định lí của hàm số liên tục

Định lí 1

a) Hàm số đa thức liên tục trên tập số thực R.

b) Hàm số phân thức hữu tỉ (là thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.

Định lí 2

Hàm số y = f(x) và y = g(x)  liên tục tại điểm \(\displaystyle {{x}_{0}}\) thì:

a) Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x) và y = f(x). g(x) cũng liên tục tại \(\displaystyle {{x}_{0}}\);

b) Hàm số \(\displaystyle y=\frac{{f(x)}}{{g(x)}}\) liên tục tại \(\displaystyle {{x}_{0}}\) nếu g(\(\displaystyle {{x}_{0}}\)) ≠ 0.

Định lí 3

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất 1 điểm c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0.

Định lí 3 thường được áp dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình. Nó được ứng dụng để chứng minh bài toán sau đây:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0. Khi đó, phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (a; b).

Ví dụ:

1) Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số \(\displaystyle f(x)=x_{{}}^{2}-2x+4\) tại \(\displaystyle {{x}_{0}}=1\)

Giải:

\(\displaystyle \underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,f(x)=\underset{{x\to 1}}{\mathop{{\lim }}}\,(x_{{}}^{2}-2x+4)=1_{{}}^{2}-2.1+4=f(1)\)

Vậy hàm số đã cho liên tục tại \(\displaystyle {{x}_{0}}=1\)

2) Hàm số \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{{x-2}}\) không liên tục hay là gián đoạn tại x = 2 vì với x = 2 thì hàm số không xác định.