Lý thuyết bất đẳng thức

Tổng hợp lý thuyết bất đẳng thức:

1. Bất đẳng thức là một mệnh đề có một trong các dạng A > B, A < B, A ≥ B, A ≤ B, trong đó A, B là các biểu thức chứa các số và các phép toán.

Biểu thức A được gọi là vế trái và B được gọi là vế phải của bất đẳng thức.

Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương:

- Nếu: A < B => C < D là mệnh đề đúng thì ta bảo bất đẳng thức C < D là hệ quả của bất đẳng thức A < B.

- Nếu: A < B => C < D và C < D => A < B là mệnh đề đúng thì hai bất đẳng thức A < B và C < D được gọi là tương đương và kí hiệu là A < B <=> C < D.

2. Các tính chất, quy tắc của bất đẳng thức

- Tính chất bắc cầu: \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}A<B\\B<C\end{array} \right.\Rightarrow A<C

- Quy tắc cộng: A < B <=> A + C < B + C

- Quy tắc cộng hai bất đẳng thức dùng chiều: \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}A<B\\C<D\end{array} \right.\Rightarrow A+C<B+D

- Quy tắc nhân:

\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}A<B\\C>0\end{array} \right.\Leftrightarrow AC<BC \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}A<B\\C<0\end{array} \right.\Leftrightarrow AC>BC

- Quy tắc nhân hai bất đẳng thức: \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}0<A<B\\0<C<D\end{array} \right.\Leftrightarrow AC<BD

- Quy tắc lũy thừa, khai căn:

Với A, B > 0, n ∈ N* ta có:

\displaystyle A<B\Leftrightarrow A_{{}}^{n}<B_{{}}^{n} \displaystyle A<B\Leftrightarrow \sqrt[n]{A}<\sqrt[n]{B}

3. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân - Bất đẳng thức Cosi

\displaystyle \frac{{a+b}}{2} được gọi là trung bình cộng của hai số a và b

\displaystyle \frac{{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...{{a}_{n}}}}{n} là trung bình cộng của n số: a1, a2,…, an

\displaystyle \sqrt{{ab}} là trung binh nhân của hai số không âm: a ≥ 0, b ≥ 0

\displaystyle \sqrt[n]{{{{a}_{1}}{{a}_{2}}...{{a}_{n}}}} là trung bình nhân của n số không âm: a1 ≥ 0, a2 ≥ 0,…, an ≥ 0 là

Định lí bất đẳng thức Cô si: \displaystyle \sqrt{{ab}}\le \frac{{a+b}}{2} với ∀ a, b ≥ 0

Dấu "=" xảy ra khi a = b.

Định lý Cosi mở rộng:

\displaystyle \sqrt{{abc}}\le \frac{{a+b+c}}{3} với ∀a, b, c ≥ 0.

\displaystyle \sqrt[n]{{{{a}_{1}}{{a}_{2}}...{{a}_{n}}}}\le \frac{{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...{{a}_{n}}}}{n} với ∀ a1, a2,…, an ≥ 0

- Hệ quả 1 của định lý Cosi: Nếu hai số dương có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số bằng nhau

- Hệ quả 2 của định lý Cosi. Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau.

4. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Ta có các bất đẳng thức sau:

|a + b| ≤ |a| + |b| ∀a, b ∈ R

Dấu "=" chỉ xảy ra khi ab

|x| ≤ a <=> - a ≤ x ≤ a ∀a > 0

|x| ≥ a <=> \displaystyle \left[ \begin{array}{l}x\ge a\\x\le a\end{array} \right.\forall a>0