Phương trình thuần nhất, bậc hai, bậc ba đối với sinX và cosX

Cách giải và ví dụ giải phương trình thuần nhất, bậc hai, bậc ba đối với sinX và cosX. Và bài tập minh họa dành cho các em luyện tập.

I- KIẾN THỨC CẦN NHỚ

NHÓM I: Phương trình thuần nhất bậc hai, bậc ba đối với một hàm số lượng giác

Dạng 1:

{\rm{a}}{\sin ^2}X + b\sin X\cos X + c{\cos ^2}X=d\left( 1 \right)\left( {a,b,c,d \in R} \right)

Cách giải 1:

Xét X=\frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\sin ^2}X=1 \\ \cos X=0 \\ \end{array} \right.

Thay vào phương trình (1) để kiểm tra.

Khi X \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right). Chia hai vế của phương trình (1) cho {\cos ^2}X ta được phương trình:

\left( {a - d} \right){\tan ^2}X + b\tan X + c - d=0

Cách giải 2: Phương trình (1) tương đương với phương trình sau:

a\frac{{1 - c{\rm{os}}2X}}{2} + \frac{b}{2}\sin 2X + c\frac{{1 + c{\rm{os}}2X}}{2}=d \Leftrightarrow b\sin 2X+ \left( {c-a} \right)c{\rm{os}}2X=2d-a-c

Dạng 2: 

{\rm{a}}{\sin ^3}X + b{\sin ^2}X\cos X + c\sin X{\cos ^2}X + d{\cos ^3}X=0\left( 2 \right)

Cách giải: Dạng toán này được giải theo như cách một ở trên

NHÓM II

II- MỘT SỐ VÍ DỤ

NHÓM I

Ví dụ 1: Giải phương trình sau

{\sin ^2}x + 3\sin x\cos x - 4{\cos ^2}x=0\left(* \right)

Giải:

Cách 1:

Xét x=\frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)

Khi đó, phương trình \left(* \right) tương đương với phương trình {\sin ^2}x=0

Vậy x=\frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right) không phải là nghiệm của phương trình \left(* \right)

Chia hai vế của phương trình \left(* \right) cho {\cos ^2}x ta được phương trình sau:

     {\tan ^2}x + 3\tan x - 4=0

\Leftrightarrow \tan x=1 \vee \tan x=-4

\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\pi \vee x=\arctan \left({- 4}\right)+k\pi k \in Z

Đáp số: \boxed{x =\frac{\pi}{4}+k\pi ;x = \arctan \left({- 4}\right)+k\pi } k \in Z

Cách 2:

Phương trình đã cho tương đương với phương trình sau

\frac{{1 - c{\rm{os}}2x}}{2} + \frac{3}{2}\sin 2x - 4\frac{{1 + c{\rm{os}}2x}}{2} = 0

\Leftrightarrow 3\sin 2x - 3\cos 2x = 1

\Leftrightarrow \sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{3\sqrt 2 }}

Phương trình trên là phương trình bậc nhất đối với sinX và cosX

Ví dụ 2: Giải phương trình

2{\sin ^2}x + 3\sqrt 3 \sin x.\cos x - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x = 2

Ví dụ 3: Giải phương trình

2co{{\mathop{\rm s}\nolimits} ^3}x + 2\sin x.{\cos ^2}x - {\rm{si}}{{\rm{n}}^3}x = 0

NHÓM II

Ví dụ 4: Giải phương trình

co{{\mathop{\rm s}\nolimits} ^3}x + \sin x - 3{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x\cos x = 0

Ví dụ 5: Giải phương trình

\tan x{\sin ^2}x - 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x = 3\left( {\cos 2x + \sin x\cos x} \right)

BÀI TẬP

Giải các phương trình sau:

1. {\sin ^3}\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \sin x

2. {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + 2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x = 3\sin x\cos x

3. 2{\sin ^2}x + 3{\cos ^2}x - c{\rm{os}}2x - 5\sin 2x = 0

4. {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x\left( {\tan x + 1} \right) = 3\sin x\left( {\cos x - \sin x} \right) + 3

5. 4{\sin ^3}x + 3{\cos ^3}x - 3\sin x - {\sin ^2}x\cos x = 0

6. c{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}x + {\sin ^3}x = \sin x - \cos x

7. \sin 3x + c{\rm{os}}3x = - 2\cos x

8. \sin x.\sin 2x + \sin 3x = 6{\cos ^3}x

9. 2{\cos ^3}x = \sin 3x

 (Nguồn bài viết: nguyenanhtuan2011.wordpress.com)