Cách viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị

Ở bài viết này Toancap3.com hướng dẫn các em phương pháp, cách viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị có ví dụ minh họa.

Cho đồ thị (C): y = f(x) và điểm Mo (xo; yo) ∈ (C). Viết phương trình tiếp tuyến (PTTT) của (C) tại điểm Mo

Phương pháp:

Từ ý nghĩa hình học của đạo hàm ⇒ PTTT  tại Mo (xo; yo) của (C) là:

y - yo = f'(xo)(x - xo) ⇔ y = f'(xo)(x - xo) + yo

Các bước giải:

  • Tập xác định, tính y’
  • Tại x = x⇒ y'(xo) và y(xo)
  • PTTT tại x = xo: y = f'(xo)(x - xo) + yo

*Chú ý: Nếu cho tung độ tiếp điểm y = yo

  • Gọi Mo (xo; yo) ∈ (C)
  • Giải PT: f(xo) = yo ⇒ xo

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \displaystyle y=\frac{x-2}{2x+1} :

a. Tại điểm có tọa độ x = 1.

b. Tại giao của đồ thị hàm số với trục tung

c. Tại điểm có tung độ bằng \displaystyle \frac{2017}{2018}

d. Tại điểm (0;-2)

Lời giải:

a. TXĐ: D = R; \displaystyle y'=\frac{5}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}} ; Tại x = 1 ⇒ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}y'\left( 1 \right)=\frac{5}{9}\\y\left( 1 \right)=\frac{-1}{3}\end{array} \right.

PTTT tại x = 1 là \displaystyle y=\frac{5}{9}\left( x-1 \right)-\frac{1}{3}=\frac{5}{9}x-\frac{8}{9}

b. Tọa độ giao điểm của đồ thị với trục Oy là nghiệm của hệ PT:

\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}y=\frac{x-2}{2x+1}\\x=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=0\\y=-2\end{array} \right.

y'(0) = 5 ⇒ PTTT cần tìm là y = 5(x - 0) - 2 = 5x - 2

c. Gọi \displaystyle {{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};\frac{{{x}_{0}}-2}{2{{x}_{0}}+1} \right)\in \left( C \right) . Ta có PT:

\displaystyle \frac{{{x}_{0}}-2}{2{{x}_{0}}+1}=\frac{2017}{2018}\Leftrightarrow 2018\left( {{x}_{0}}-2 \right)=2017\left( 2{{x}_{0}}+1 \right)

⇔ \displaystyle {{x}_{0}}=\frac{-6053}{2016}\Rightarrow y'\left( \frac{-6053}{2016} \right)

⇒ PTTT cần tìm