Lý thuyết giải các phương trình lượng giác cơ bản thường gặp

Các phương trình lượng giác cơ bản thường gặp

Đây là các dạng phương trình lượng giác trong chương trình Toán lớp 11

1. Phương pháp giải phương trình lượng giác bậc nhất

Chỉ cần thực hiên 2 phép biến đổi tương đương: bằng cách chuyển số hạng không chứa x sang vế phải và đổi dấu, sau đó chia 2 vế của phương trình cho một số # 0 là ta có thể đưa phương trình về phương trình lượng giác cơ bản đã biết cách giải.

2. Phương pháp giải phương trình lượng giác bậc hai

Đặt ẩn phụ ta đưa được phương trình về dạng một phương trình bậc hai. Sau đó giải phương trình bậc hai này. Nếu phương trình bậc hai này có nghiệm thì thế giá trị của nghiệm này với phương trình ẩn phụ ta sẽ tìm được nghiệm cho phương trình

3. Phương pháp giải phương trình dạng asinx + bcosx = c với a, b đều # 0

Cách 1: Chia hai vế phương trình cho \sqrt{x^2+y^2} và gọi α là góc lượng giác tạo bởi chiều dương của trục hoành với vectơ \overrightarrow{OM} = (a ; b) thì phương trình trên trở thành một phương trình mà ta đã biết cách giải: sin(x + α) = \dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}

Cách 2: Viết lại phương trình dưới dạng \dfrac{a}{b}sinx + cosx = \dfrac{c}{b} và đặt α = arctan\dfrac{a}{b} thì tanα =\dfrac{a}{b} , phương trình trở thành :

tanαsinx + cosx = ⇔ cos(x - a) = \dfrac{c.cos\alpha}{b}

Phương trình này chúng ta đã biết cách giải.

Chú ý : Để phương trình sin(x + α) = \dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} có nghiệm, điều kiện cần và đủ là

\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} ≤ 1 <=> c ≤ \sqrt{a^2+b^2} <=>  c^2 ≤ a^2b^2

Đó cũng là điều kiện cần và đủ để phương trình asinx + bcosx = c có nghiệm

4. Phương pháp giải các phương trình đưa được về dạng phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Bằng việc sử dụng các công thức, phép biến đổi lượng giác chúng ta sẽ đưa các phương trình khó và phức tạp về dạng phương trình bậc hai, bậc nhất như trên. Ví dụ với phương trình bậc hai đối với sinx và cosx:

a.sin^{2}x + b.sinx.cosx + cos^{2}x = d

thì chúng ta có thể đưa về dạng phương trình bậc hai đối với tanx bằng cách chia phương trình cho cos^{2}x.

Bên trên là những phương trình lượng giác cơ bản. Ngoài ra còn có nhiều dạng phương trình lượng giác khác, Toán cấp 3 sẽ tiếp tục giới thiệu với các em ở các bài viết sau.