Sử dụng tính chất đẳng cấp trong chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị

Bài viết hôm nay giới thiệu với các em cách sử dụng tính chất đẳng cấp trong chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị của một biểu thức.

Trước hết chúng ta cần nhắc lại định nghĩa biểu thức đẳng cấp:
Biểu thức \(\displaystyle f({{x}_{1}},{{x}_{2}},…,{{x}_{n}})\) được gọi là biểu thức đẳng cấp bậc k ( k ∈ N ) nếu

\(\displaystyle f(m{{x}_{1}},m{{x}_{2}},…,m{{x}_{n}})=m_{{}}^{k}f({{x}_{1}},{{x}_{2}},…,{{x}_{n}})\)
Nếu biểu thức \(\displaystyle f({{x}_{1}},{{x}_{2}},…,{{x}_{n}})\) là biểu thức đẳng cấp bậc 0 thì với phép đặt \(\displaystyle {{x}_{i}}={{t}_{i}}{{x}_{1}},{{x}_{1}}\#0\) với i = 2,3,…,n ta có: \(\displaystyle f({{x}_{1}},{{x}_{2}},…,{{x}_{n}})=f(1,{{t}_{1}},{{t}_{2}},…{{t}_{n}})\) là biểu thức n – 1 biến, tức là ta đã làm giảm đi số biến. Đặt biệt với biểu thức đẳng cấp bậc 0 hai biến thì ta có thể chuyển về biểu thức một biến. Do đó để tìm cực trị của biểu thức này ta có thể sử dụng phương trình khảo sát hàm số.

Sau đây là các ví dụ minh họa cho việc sử dụng tính chất đẳng cấp trong chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị