Dạng bài tập đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Toancap3.com sưu tầm và tổng hợp Lý thuyết phải ghi nhớ trong hình học không gian lớp 11 để các em học sinh khối 11, 12 nắm vững ôn thi, luyện thi THPT quốc gia.

Nội dung lý thuyết bao gồm:

I. Đường thẳng và mặt phẳng

1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (cách 1)

  • Tìm điểm chung của hai mặt phẳng
  • Đường thẳng đi qua 2 điểm chung đó là giao tuyến của 2 mặt phẳng

Chú ý: Để tìm điểm chung của 2 mặt phẳng (mp) ta thường tìm 2 đường thẳng đồng phẳng lần lượt nằm trong 2 mặt phẳng đó. Giao điểm (nếu có) của 2 đường thẳng này chính là điểm chung của 2 mp.

2. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

  • Để tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P) thì ta tìm trong (P) một đường thẳng d cắt đường thẳng a tại một điểm A nào đó, thì A là giao điểm của d và (P).

Chú ý: Nếu đường thẳng d chưa có sẵn thì thì chọn một mp (Q) qua a và lấy d là giao tuyến của (P) và (Q).

3. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng

  • Muốn chứng minh 3 điểm thẳng hàng ta chứng minh 3 điểm đó là các điểm chung của 2 mặt phẳng phân biệt.  Khi đó 3 điểm sẽ thuộc giao tuyến của 2 mặt phẳng đó.

4. Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy

  • Muốn chứng minh 3 đường thẳng đồng quy ta chứng minh giao điểm của 2 đường thẳng này là điểm chung của 2 mặt phẳng mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba.

5. Tìm tập hợp giao điểm của hai đường thẳng di động

M là giao điểm của 2 đường thẳng di động d và d' . Tìm tập hợp các điểm O

  • Phần thuận: Tìm hai mặt phẳng cố định lần lượt chứa d và d'. O di động trên giao tuyến cố định của 2 mặt phẳng đó.
  • Giới hạn (nếu có)
  • Phần đảo: Nếu d di động nhưng luôn đi qua điểm cố định A và cắt đường thẳng cố định a không qua A thì d luôn nằm trong mặt phẳng cố định (A,a).

6. Thiết diện

Thiết diện của mặt phẳng (P) và hình chóp là đa giác được giới hạn bởi các giao tuyến của mp (P) và hình chóp.

Ta xác định lần lượt các giao tuyến của (P) với các mặt của hình chóp theo các bước sau:

  • Từ điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến đầu tiên của (P) với một mặt của hình chóp (có thể là mặt trung gian)
  • Cho giao tuyến này cắt các cạnh của mặt đó của hình chóp ta sẽ được các điểm chung mới của (P) với các mặt khác. Từ đó xác định được các giao tuyến mới với các mặt này
  • Tiếp tục như thế cho tới khi các giao tuyến khép kín ta được thiết diện.

II. Đường thẳng song song

1. Chứng minh hai đường thẳng song song

  • Chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng (tính chất đường trung bình, Talet...)
  • Chứng minh 2 đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ 3
  • Áp dụng định lí về giao tuyến

2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (cách 2)

  • Tìm điểm chung của 2 mặt phẳng
  • Áp dụng định lí về giao tuyến để tìm phương của giao tuyến (tức chứng minh giao tuyến song song với một đường thẳng đã có)
  • Giao tuyến sẽ là đường thẳng đi qua điểm chung và song song với đường thẳng ấy

*Ghi chú: tìm giao tuyến bằng 2 cách đó là: tìm 2 điểm chung, 1 điểm chung và phương giao tuyến

3. Tính góc giữa hai đường thẳng chéo nhau

  • Lấy điểm O nào đó
  • Qua O dựng a' // a và b' // b
  • Góc tạo bởi a' và b' là góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b
  • Tính góc: sử dụng cách tính góc trong tam giác (pitago, định lí hàm số cosin)

III. Đường thẳng song song với mặt phẳng

1. Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng P

  • Ta sẽ chứng minh d không thuộc (P) và d song song với một đường thẳng a nằm trên (P)
  • Nếu đường thẳng a không có sẵn thì ta chọn mặt phẳng (Q) chứa d và lấy a là giao tuyến của (P) và (Q)

Còn nhiều dạng bài tập nữa Toancap3.com sẽ tiếp tục cập nhật thêm ở các bài viết tiếp theo. Nếu các em có những mẹo giải Toán hay, sách hay tài liệu về Toán cấp 3. Xin gởi về địa chỉ email: webtoancap3@gmail.com.

Xin chân thành cám ơn!