Lý thuyết hàm số

Lý thuyết về hàm số, định nghĩa, đồ thị và sự biến thiên.

1. Định nghĩa hàm số

Cho D ∈ R, với D ≠ Φ. Một hàm số xác định trên D là một quy tắc f cho tương ứng mỗi số x ∈ D với một và duy nhất chỉ một số y ∈ R. Ta kí hiệu:

f : D → R

x → y = f(x)

Tập hợp D được gọi là tập xác định (hay miền xác định), x được gọi là biến số (hay đối số), \( \displaystyle {{y}_{0}}=f({{x}_{0}}) \)  tại \(\displaystyle x={{x}_{0}} \)

Một hàm số có thể được cho bằng một công thức, hay bằng biểu đồ, bằng bảng.

Lưu ý rằng, khi cho một hàm số bằng công thức mà không nói rõ tập xác định thì ta ngầm hiểu tập xác định D là tập hợp các số x ∈ R mà các phép toán trong công thức có nghĩa.

2. Đồ thị hàm số

Đồ thị của hàm số:  y = f(x)

f : D → R

x → y = f(x)

là tập hợp các điểm có tọa độ (x;f(x)) với x ∈ D trên mặt phẳng tọa độ

3. Sự biến thiên của hàm số

Hàm số y = f(x) là đồng biến trên khoảng (a;b) nếu với mọi \( \displaystyle {{x}_{1}},{{x}_{2}} \) ∈ (a;b) mà \( \displaystyle {{x}_{1}}<{{x}_{2}} \) => \( \displaystyle f({{x}_{1}})<f({{x}_{2}}) \) hay \( \displaystyle {{x}_{1}}\#{{x}_{2}} \) ta có:

\( \displaystyle \frac{{f({{x}_{1}})-f({{x}_{2}})}}{{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}}>0\)

Hàm số y = f(x) là nghịch biến trên khoảng (a;b) nếu với mọi \( \displaystyle {{x}_{1}},{{x}_{2}} \) ∈ (a;b) mà \( \displaystyle {{x}_{1}}<{{x}_{2}} \) => \( \displaystyle f({{x}_{1}})>f({{x}_{2}}) \) hay \( \displaystyle {{x}_{1}}\#{{x}_{2}} \)  ta có:

\( \displaystyle \frac{{f({{x}_{1}})-f({{x}_{2}})}}{{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}}<0\)

4. Tính chẵn lẻ của hàm số

Hàm số f:  D → R

x → y = f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu: x ∈ D => -x ∈ D và f(- x)=f(x), là hàm số lẻ nếu x ∈ D => -x ∈ D và f(-x) = -f(x).

Đồ thị của hàm số chẵn có trục tung là trục đối xứng. Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O của hệ trục tọa độ Oxy làm tâm đối xứng.